如何求解不定积分$ \int \sec^{\frac{1}{3}}(x) dx $？

咱们来一步步拆解这个不定积分的求解过程，先从改写被积函数开始：

$$ \int \sec^{\frac{1}{3}}(x) dx = \int \frac{1}{\cos^{1/3}(x)}dx $$

接下来利用三角恒等式 $\sin^2x + \cos^2x = 1$ 拆分积分，把复杂的被积函数拆成两个相对好处理的部分：
$$ = \int \frac{\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x)}{\cos{1/3}(x)}dx = \int \frac{\sin^{2}(x)}{\cos{1/3}(x)}dx + \int \cos^{2/3}(x) \cos(x) dx $$

这里我们令 $A = \int \frac{\sin^{2}(x)}{\cos{1/3}(x)}dx$，先把注意力放在第二个积分上，用分部积分法来计算它：
我们设 $u = \cos^{2/3}(x)$，$dv = \cos(x) dx$，根据分部积分公式 $\int u , dv = uv - \int v , du$，先算出对应的 $du$ 和 $v$：

• $du = \frac{2}{3}\cos^{-1/3}(x) \cdot (-\sin x) dx = -\frac{2}{3}\frac{\sin x}{\cos^{1/3}(x)} dx$
• $v = \sin x$

代入公式后化简，就能得到：
$$\int \cos^{2/3}(x) \cos(x) dx = \sin(x) \cos^{2/3}(x) + \frac{2}{3} \underbrace{\int \frac{\sin^{2}(x)}{\cos{1/3}(x)}dx }_{A} $$

现在把这个结果代回到最开始拆分的积分里：
$$ \int \sec^{\frac{1}{3}}(x) dx = A + \sin(x) \cos^{2/3}(x) + \frac{2}{3}A $$
合并同类项后：
$$ = \sin(x) \cos^{2/3}(x) + \frac{5}{3}A $$

到这里你会发现，我们好像绕回了和原积分相关的项。其实这是一个明确的信号：这个不定积分没有初等函数形式的原函数——也就是说，没法用我们熟悉的三角函数、指数函数、对数函数等常规函数组合来表示它的结果。

如果要完整表达这个积分的结果，我们需要用到特殊函数，比如超几何函数或者椭圆积分。举个例子，我们可以做变量代换 $u = \tan x$，此时 $\cos x = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$，$dx = \frac{du}{1+u^2}$，原积分会转化为：
$$\int (1+u²⁾{-5/6} du$$
这个积分可以用超几何函数表示为：
$$u \cdot {}_2F_1\left( \frac{5}{6}, \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; -u^2 \right) + C$$
或者也可以用Beta函数、Gamma函数来推导其他形式的表达式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Redsbefall