求证集合[0,1]\setminus E的Lebesgue测度为零的数学问题

设E为[0,1]中所有满足下述性质的点x构成的集合：若0.x₁x₂x₃…是x的十进制展开式，则对每个整数k≥1，串x₁x₂…xₖ在x的十进制展开序列x₁x₂x₃…中无限次出现。

我们要证的是**[0,1]\setminus E的Lebesgue测度为0**，等价于说明：几乎所有[0,1]内的点都属于E。下面分步骤完成证明：

1. 拆解补集的结构 #

x不属于E的核心特征是：存在某个整数k≥1，使得x的十进制展开的前k位串$w = x₁x₂…xₖ$，在x的整个展开序列里只出现有限次。

基于这个特征，补集可以表示为可数个集合的并：
$$[0,1]\setminus E = \bigcup_{k=1}^\infty \bigcup_{w \in {0,1,...,9}^k} S_{k,w}$$
其中$S_{k,w}$代表“十进制展开以w开头，且w在展开中仅出现有限次”的点构成的集合。

2. 分析单个集合$S_{k,w}$的测度 #

根据已知的频率结论：对于任意固定长度为k的十进制串w，对几乎所有x∈[0,1]，w在x的十进制展开中出现的频率会收敛到$1/10^{k$。这是强大数定律的直接推论——十进制展开的各位可看作独立同分布的均匀随机变量，固定串w出现的概率是$1/10}k$，因此频率几乎处处收敛到该概率。

如果w出现的频率收敛到一个正数$1/10^k$，说明w在展开中出现的次数必然趋向无穷大（毕竟频率=出现次数/总位数，总位数趋向无穷时，正数频率要求出现次数也必须趋向无穷）。

反过来，“w在展开中仅出现有限次”的点构成的集合$C_w$，其Lebesgue测度为0。而$S_{k,w}$是$C_w$的子集（$S_{k,w}$里的点不仅满足w仅出现有限次，还满足前k位是w），因此$S_{k,w}$的测度也为0。

3. 利用测度性质完成最终证明 #

• 对于每个固定的k，${0,1,...,9}^{k$是有限集合（共$10}k$个元素），有限个测度为0的集合的并，测度仍然是0，即$\bigcup_{w \in {0,1,...,9}^k} S_{k,w}$的测度为0。
• 再对k从1到∞取并，这是可数个测度为0的集合的并，根据Lebesgue测度的可数可加性，整个并集的测度为0。

综上，$[0,1]\setminus E$的Lebesgue测度为0。

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