随机过程马尔可夫链：几何分布竞价下接受高价的期望次数求解

你理解得没错，这确实是一个期望计算问题，核心是利用几何分布的性质来求解首次收到可接受竞价时的平均等待次数。

步骤1：计算单次竞价被接受的概率 #

首先我们得算出任意一次竞价超过100美元的概率$p$。

已知竞价$\Delta$服从几何分布，概率质量函数为：
$$\mathbb P(\Delta=k)=0.01\cdot(0.99)^k \quad (k=0,1,\cdots)$$

我们需要的是$\mathbb P(\Delta > 100)$，直接计算无穷求和比较麻烦，用补集公式更简单：
$$\mathbb P(\Delta > 100) = 1 - \mathbb P(\Delta \leq 100)$$

对于这个几何分布，累积分布函数（即$\mathbb P(\Delta \leq n)$）可以通过等比数列求和推导出来：
$$\mathbb P(\Delta \leq n) = \sum_{k=0}^n 0.01\cdot(0.99)^k = 1 - (0.99)^{n+1}$$

代入$n=100$后，就能得到：
$$\mathbb P(\Delta \leq 100) = 1 - (0.99)^{101}$$

因此单次竞价被接受的概率为：
$$p = \mathbb P(\Delta > 100) = (0.99)^{101}$$

如果需要数值近似，$\ln(0.99) \approx -0.01005$，所以$101 \times \ln(0.99) \approx -1.015$，进而$(0.99)^{101} \approx e^{-1.015} \approx 0.362$，也就是单次竞价符合要求的概率约为36.2%。

步骤2：计算期望等待次数 #

现在问题转化为：独立重复试验中，每次成功（竞价被接受）的概率为$p$，求首次成功时的试验次数的期望。

这属于首次成功次数版本的几何分布，它的期望公式就是$\frac{1}{p}$。所以平均需要的竞价次数为：
$$\mathbb E[N] = \frac{1}{(0.99)^{101}}$$

用数值近似的话，这个值约为$\frac{1}{0.362} \approx 2.76$，也就是说平均大概需要3次竞价，就能收到一个超过100美元的报价。

小提醒 #

这里要注意几何分布的两种常见定义：一种是“首次成功前的失败次数”，期望是$\frac{1-p}{p}$；另一种是“首次成功时的总试验次数”，期望是$\frac{1}{p}$。我们用的是后者，因为问题问的是“收到多少个竞价才出现可接受的竞价”，包含那个符合要求的竞价本身。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kyle