奶酪补货订单组合数求解：34种奶酪48份销量的可能订单数

嘿，这个问题其实是组合数学里非常经典的「隔板法」应用场景，我来一步步给你拆解清楚～

第一步：把问题转化为数学模型 #

首先我们要明确核心：不同的补货订单，本质就是每种奶酪当日卖出数量的不同组合。我们可以把问题翻译成：

• 有34种不同的奶酪（看作34个不同的“类别”）
• 当日总共卖出了48份奶酪（看作48个相同的“单位”，因为补货只关心每种卖了多少，不关心具体哪笔交易卖的）
• 我们需要计算：把48个相同单位分配到34个类别中，有多少种不同的分配方式（允许某个类别分配到0个单位，也就是有些奶酪当天一份没卖）

第二步：对应到不定方程的解 #

这个问题等价于求以下不定方程的非负整数解的个数：

x₁ + x₂ + ... + x₃₄ = 48

其中 xᵢ 表示第i种奶酪卖出的数量，xᵢ ≥ 0（非负是因为允许奶酪当天没卖出）。

第三步：用隔板法计算组合数 #

隔板法是解决这类“相同物品分配到不同类别”问题的标准方法，原理如下：

• 把48个相同的单位排成一排，我们需要用33个隔板（因为34个类别需要33个分隔）把它们分成34组，每组对应一种奶酪的销量。
• 这里允许某组为空（对应奶酪没卖出），所以隔板可以放在单位的两端或者单位之间的缝隙里。总共有 48 + 33 = 81 个位置（48个单位+33个隔板），我们需要从中选33个位置放隔板，剩下的放单位。

对应的组合数公式是：

C(n + k - 1, k - 1)

其中：

• n 是总销量（48）
• k 是奶酪种类数（34）

代入数值后就是：

C(48 + 34 - 1, 34 - 1) = C(81, 33)

（注：C(a,b) 表示从a个元素中选b个的组合数，计算公式为 C(a,b) = a!/(b!*(a-b)!)）

关于“每笔销售至少包含一份奶酪”的说明 #

你提到的这个条件，只是限制了每笔交易不会是空单（不会有人买0份奶酪），但这并不影响我们计算补货订单的数量——因为补货只关心每种奶酪的总销量，不管交易的次数或每笔交易的具体内容。比如：

• 1笔交易卖48份奶酪A，和48笔交易各卖1份奶酪A，对应的补货订单是一样的（只需要补48份奶酪A）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PhysNerd