设K为除环且char(K)≠2，证明x²+y²-1在K[X,Y]中不可约

嘿，我来帮你捋清楚这个证明的完整思路！我们可以利用一元多项式环的不可约判定结合除环的性质来推导，步骤如下：

第一步：转化为一元多项式环视角 #

把K[X,Y]看作是(K[Y])[X]——也就是以Y为变量的多项式环上的一元多项式环，此时目标多项式可以写成：

f(X) = X² + (y² - 1)

这里变量是X，系数都在K[Y]中。由于K是除环，K[Y]是唯一分解整环（UFD），我们可以用UFD上一元多项式的不可约判定规则。

第二步：假设可约，推导矛盾 #

假设f(X)在(K[Y])[X]中可约，那么作为二次多项式，它必然能分解成两个一次因式的乘积：

f(X) = (X - a(Y))(X - b(Y))

其中a(Y), b(Y) ∈ K[Y]。展开后对比系数可得：

• 一次项系数：a(Y) + b(Y) = 0 → b(Y) = -a(Y)
• 常数项：a(Y)b(Y) = y² - 1

把b(Y) = -a(Y)代入常数项等式，得到：

-a(Y)² = y² - 1 → a(Y)² = 1 - y²

第三步：分析多项式a(Y)的次数 #

设a(Y)是n次多项式，左边a(Y)²的次数是2n，右边1 - y²的次数是2，因此2n=2，即n=1。我们可以设：

a(Y) = cy + d

其中c, d ∈ K且c ≠ 0（因为次数为1）。

第四步：代入平方等式，利用char(K)≠2导出矛盾 #

将a(Y)=cy+d代入a(Y)²=1-y²，展开（注意除环乘法不交换，要保留顺序）：

(cy + d)² = c²y² + cdy + dcy + d²

对比右边1 - y²的各项系数：

1. y²项：c² = -1
2. y项：cd + dc = 0 → cd = -dc（说明c和d反交换）
3. 常数项：d² = 1

现在利用char(K)≠2的条件：

• 由d²=1，可知d可逆（d*d=1），对cd=-dc两边左乘d⁻¹得：d⁻¹cd = -c → c = -dcd⁻¹
• 再代入具体的Y值找矛盾：
  • 取Y=1：a(1)²=1-1=0 → c*1 + d = 0 → d = -c
  • 把d=-c代入d²=1：(-c)²=1 → c²=1，但之前我们有c²=-1，因此1=-1 → 2=0，这与char(K)≠2矛盾！

第五步：结论 #

这个矛盾说明我们的“f(X)可约”假设不成立，因此f(X)在(K[Y])[X]中不可约。再结合高斯引理（UFD上的本原多项式在多项式环中不可约当且仅当在分式域上的多项式环中不可约，这里K[Y]是UFD，f(X)是本原多项式），可以推出x²+y²-1在K[X,Y]中不可约。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Student