关于抛硬币至某面累计10次的概率求解咨询（二项式应用困惑）

嘿，我来帮你拆解这两个问题，核心是先搞清楚什么时候会停止抛掷——只要正面或反面的累计次数先到10次，就立刻停止。咱们一个个来分析：

抛掷10次就停止，说明刚好在第10次抛掷后，某一面第一次达到了10次。那只有两种可能：

• 前10次全是正面：概率是0.4^10
• 前10次全是反面：概率是0.6^10

为什么没有其他情况？比如前9次是9正1反？那第9次结束时正面只有9次、反面1次，都没到10次，肯定会继续抛第10次，但第10次不管是正还是反，正面最多10次、反面最多2次——如果第10次是正，那正面到10次停止，但这时候前9次是9正0反，不是9正1反；如果是反，那两面都没到10次，还得继续抛，不会在第10次停止。

所以(a)的最终概率就是两者相加：
P(抛10次) = 0.4^10 + 0.6^10

抛掷到第12次才停止，意味着两个关键条件：

1. 第12次抛掷后，某一面刚好达到10次；
2. 前11次抛掷结束时，两面都没达到10次（否则会提前停止）。

满足这两个条件的情况只有两类，我们分别计算：

情况1：第12次抛出正面，使正面累计到10次 #

• 前11次中，正面必须是9次（这样第12次抛正面才会到10次），反面就是11-9=2次（如果反面超过2次，比如3次，那前11次正面最多8次，第12次抛完正面最多9次，还到不了10次）；
• 从11次里选9次是正面的组合数是C(11,9)；
• 这部分的概率是：C(11,9) * 0.4^9 * 0.6^2 * 0.4 = C(11,9) * 0.4^10 * 0.6^2

情况2：第12次抛出反面，使反面累计到10次 #

• 同理，前11次中反面必须是9次，正面是2次；
• 组合数同样是C(11,9)（因为选9次反面和选2次正面是等价的，C(11,9)=C(11,2)）；
• 这部分的概率是：C(11,9) * 0.6^9 * 0.4^2 * 0.6 = C(11,9) * 0.6^10 * 0.4^2

把两类情况的概率加起来，就是(b)的最终概率：
P(抛12次) = C(11,9)*0.4^10*0.6^2 + C(11,9)*0.6^10*0.4^2

你之前想用二项式公式其实是找对方向了，只是没精准匹配“直到某一面达到10次停止”这个终止条件——不是单纯计算n次里k次正面的概率，而是要先锁定前n-1次的状态（确保没提前停止），再乘上第n次的结果就行~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kdhug886