求证∫₁²(arctanx)/x dx <1：Darboux和应用遇阻求助

别担心，我来帮你一步步解决这个问题——先搞定函数单调递减的证明，再用Darboux上和完成积分不等式的推导！

要判断函数的单调性，最直接的方法是求导，看导数在区间内的符号。我们用商的求导法则来计算$f(x)$的导数：

商的求导公式：若 $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$，则 $f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

这里令 $u(x)=\arctan x$，$v(x)=x$，我们知道：

• $\arctan x$ 的导数是 $u'(x)=\frac{1}{1+x^2}$
• $x$ 的导数是 $v'(x)=1$

代入公式得到：
$$f'(x)=\frac{\frac{1}{1+x^2} \cdot x - \arctan x \cdot 1}{x^2} = \frac{\frac{x}{1+x^2} - \arctan x}{x^2}$$

分母 $x^2$ 在 $[1,2]$ 上显然恒大于0，所以只需要判断分子 $g(x)=\frac{x}{1+x^2} - \arctan x$ 的符号。接下来我们对 $g(x)$ 求导，分析它的单调性：

$$g'(x)=\frac{(1)(1+x^{2)-x(2x)}{(1+x}2)^2} - \frac{1}{1+x^2}$$

先化简分子部分：$(1+x^2)-2x2=1-x^2$，代入后继续整理：
$$g'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x2)^2} - \frac{1}{1+x^2} = \frac{1-x^2 - (1+x^2)}{(1+x2)^2} = \frac{-2x^2}{(1+x2)^2}$$

在 $[1,2]$ 上，$x^2>0$，所以 $g'(x)=\frac{-2x^2}{(1+x2)^2} < 0$，这说明 $g(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递减。

接下来计算 $g(x)$ 在区间左端点的值：
$$g(1)=\frac{1}{1+1^2} - \arctan1 = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \approx 0.5 - 0.785 = -0.285 < 0$$

因为 $g(x)$ 单调递减且 $g(1)<0$，所以在整个 $[1,2]$ 区间上，$g(x) \leq g(1) < 0$。结合 $f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}$，分母正、分子负，可得 $f'(x)<0$ 在 $[1,2]$ 上恒成立，因此 $f(x)=\frac{\arctan x}{x}$ 在 $[1,2]$ 上单调递减。

既然已经证明了 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 单调递减，那么它在这个区间的最大值就是左端点的函数值（单调递减函数左端点最大）。根据Darboux上和的性质，定积分的值一定小于等于它的上和：

$$\int_1^2 f(x)dx \leq \text{Darboux上和}$$

对于整个区间 $[1,2]$，上和就是最大值乘以区间长度：
$$\text{Darboux上和}=f(1) \times (2-1)=\frac{\arctan1}{1} \times 1=\frac{\pi}{4} \approx 0.785$$

显然 $\frac{\pi}{4} < 1$，所以：
$$\int_1^2 \frac{\arctan x}{x} dx \leq \frac{\pi}{4} < 1$$

这样就轻松完成了证明！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user535093