已知三角形内角A、B、C，求指定三角函数行列式Δ的值

问题描述 #

若A、B、C为三角形的内角，求行列式$$\Delta = \begin{vmatrix}\sin^2A & \cot A & 1 \ \sin^2B & \cot B & 1 \ \sin^2C & \cot C & 1\end{vmatrix}$$的值。

我的解题尝试 #

我先写出原行列式：
$$\Delta = \begin{vmatrix}\sin^2A & \cot A & 1 \ \sin^2B & \cot B & 1 \ \sin^2C & \cot C & 1\end{vmatrix}$$
接着进行行变换：$R_2 \to R_2 - R_1$，$R_3 \to R_3 - R_1$，得到：
$$= \begin{vmatrix}\sin^2A & \cot A & 1 \ \sin^2B-\sin2A & \cot B-\cot A & 0 \ \sin^2C-\sin2A & \cot C-\cot A & 0\end{vmatrix}$$

完整推导过程 #

接下来我们可以按第三列展开这个行列式（因为第三列有两个0，计算更高效）：
$$\Delta = 1 \times (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}\sin^2B-\sin2A & \cot B-\cot A \ \sin^2C-\sin2A & \cot C-\cot A\end{vmatrix}$$
也就是：
$$\Delta = \begin{vmatrix}\sin^2B-\sin2A & \cot B-\cot A \ \sin^2C-\sin2A & \cot C-\cot A\end{vmatrix}$$

现在我们来化简行列式里的元素：

1. 利用三角恒等式$\sin^2X - \sin^2Y = \sin(X+Y)\sin(X-Y)$，因为A、B、C是三角形内角，所以$A+B+C=\pi$，即$X+Y = \pi - Z$（Z为第三个角），$\sin(X+Y)=\sin Z$。
   所以$\sin^2B - \sin^2A = \sin(B+A)\sin(B-A) = \sin C \cdot \sin(B-A)$
   同理，$\sin^2C - \sin^2A = \sin(C+A)\sin(C-A) = \sin B \cdot \sin(C-A)$

2. 化简$\cot X - \cot Y$：
   $\cot X - \cot Y = \frac{\cos X}{\sin X} - \frac{\cos Y}{\sin Y} = \frac{\sin Y \cos X - \cos Y \sin X}{\sin X \sin Y} = \frac{\sin(Y-X)}{\sin X \sin Y} = -\frac{\sin(X-Y)}{\sin X \sin Y}$
   所以$\cot B - \cot A = -\frac{\sin(B-A)}{\sin B \sin A}$
   $\cot C - \cot A = -\frac{\sin(C-A)}{\sin C \sin A}$

把这些化简后的结果代入行列式：
$$\Delta = \begin{vmatrix}\sin C \cdot \sin(B-A) & -\frac{\sin(B-A)}{\sin B \sin A} \ \sin B \cdot \sin(C-A) & -\frac{\sin(C-A)}{\sin C \sin A}\end{vmatrix}$$

我们可以把每一行的公因子提出来：
第一行提取$\sin(B-A)$，第二行提取$\sin(C-A)$：
$$\Delta = \sin(B-A)\sin(C-A) \begin{vmatrix}\sin C & -\frac{1}{\sin B \sin A} \ \sin B & -\frac{1}{\sin C \sin A}\end{vmatrix}$$

现在计算这个二阶行列式：
$$\begin{vmatrix}\sin C & -\frac{1}{\sin B \sin A} \ \sin B & -\frac{1}{\sin C \sin A}\end{vmatrix} = \sin C \times \left(-\frac{1}{\sin C \sin A}\right) - \left(-\frac{1}{\sin B \sin A}\right) \times \sin B$$
计算每一项：
第一项：$\sin C \times \left(-\frac{1}{\sin C \sin A}\right) = -\frac{1}{\sin A}$
第二项：$-\left(-\frac{1}{\sin B \sin A}\right) \times \sin B = \frac{1}{\sin A}$
所以二阶行列式的结果是$-\frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\sin A} = 0$

因此，整个行列式$\Delta = \sin(B-A)\sin(C-A) \times 0 = 0$

结论：该行列式的值为0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shinsekai no Kami