拓扑群中左平移映射$L_x(u)=xu$为开映射的证明问询

嘿，这个问题问得很到位——拓扑群里左平移$L_x(u)=xu$是开映射这个结论确实常被当作“默认常识”直接用，但其实证明起来非常简洁，核心就是利用拓扑群的定义和映射的基本性质。下面是严谨的证明过程：

首先明确我们的前提和核心定义：

已知：

1. $G$是拓扑群（即同时具备群结构和拓扑结构，且乘法映射$m(a,b)=ab$、逆映射$i(a)=a^{-1}$都连续）；
2. 左平移映射$L_x: G \to G, L_x(u)=xu$是连续映射。

我们分三步完成证明：

1. 左平移映射是双射 #

• 单射性：假设$L_x(u) = L_x(v)$，即$xu = xv$。根据群的消去律，两边左乘$x^{-1}$可得$u = v$，因此$L_x$是单射。
• 满射性：对于任意$y \in G$，取$u = x^{-1}y$（群中逆元必然存在），则$L_x(u) = x(x^{-1}y) = y$，因此$L_x$是满射。

综上，$L_x$是双射，且它的逆映射就是$L_{x^{{-1}}$（验证一下：$L_{x}{-1}}(L_x(u)) = x^{-1}(xu) = u$，反过来$L_x(L_{x^{-1}}(u)) = x(x^{-1}u) = u$，双向都成立）。

2. 逆映射$L_{x^{-1}}$是连续的 #

题目中已经明确左平移映射是连续的，而$L_{x^{{-1}}$本质上就是以$x}{-1}$为平移元的左平移映射，因此$L_{x^{-1}}$也满足连续的条件。

3. 双向连续的双射是同胚，同胚必为开映射 #

在拓扑学里，若一个映射$f: X \to Y$是连续双射，且其逆映射$f^{-1}$也连续，那么$f$就是同胚映射。同胚映射的核心性质之一就是它是开映射——也就是说，它会把定义域中的任意开集，映射到值域中的开集。

具体到我们的场景：
对于任意开集$U \subset G$，要证明$L_x(U)$是开集，只需要利用连续映射的定义：值域中的任意开集，其在映射下的原像也是开集。这里我们取值域中的开集为$U$，那么$L_{x^{-1}}{-1}(U)$就是$L_x(U)$（因为$L_{x^{-1}}$的逆映射就是$L_x$），因此$L_x(U)$必然是开集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dennis Muhonen