求解二次同余式的困惑：方程等价变形的系数变化原因？

嘿，我来帮你把这个变形的逻辑理清楚～

首先，我们从原方程出发：
$$x^2 − 7x ≡ 10 \pmod {11}$$

你一开始移项得到 $$x^2 - 7x -10 ≡ 0 \pmod {11}$$，这个步骤本身是完全正确的，但在模运算的环境里，我们可以把负数项替换成模11下的等价正数，这样能让方程更方便因式分解。

这里的核心规则是：在模11的体系中，两个数如果相差11的整数倍，它们就是同余的。我们看-10这个数，给它加上22（也就是2×11），得到：
$$-10 + 22 = 12$$
所以 $$-10 ≡ 12 \pmod{11}$$

把这个同余关系代入你得到的方程里，原来的 $$x^2 - 7x -10 ≡ 0 \pmod {11}$$ 就等价于：
$$x^2 - 7x + 12 ≡ 0 \pmod {11}$$

接下来就简单了，左边可以直接因式分解：
$$(x-3)(x-4) ≡ 0 \pmod{11}$$

因为11是质数，所以只要其中一个因子模11等于0就行，也就是x≡3或x≡4 mod11，代入原方程验证也完全成立：

• 当x=3时，$3^2 -7×3=9-21=-12$，而$-12+22=10$，符合$≡10 \pmod{11}$
• 当x=4时，$4^2 -7×4=16-28=-12$，同样$-12+22=10$，也符合条件

总结一下，你最初的移项是正确的，只是没有做模11下的同余替换，把-10换成等价的12后，方程就变成了容易因式分解的形式，这就是两种变形等价的原因～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sktsasus