求复数1+i的立方根并在复平面绘图的正确性咨询

我来帮你梳理一下这个问题的问题所在，先从复数开方的基本规则说起：

首先，复数开n次方的核心公式是：对于复数 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，它的n个n次方根为：
$$\omega_k = r^{1/n}\left[\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right]$$
其中 $k = 0,1,...,n-1$，每个根之间的辐角间隔为 $\frac{2\pi}{n}$。

先确认1+i的极坐标形式 #

1+i的模长 $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} = 2^{1/2}$，辐角 $\theta = \frac{\pi}{4}$（因为它在第一象限，$\tan\theta = 1$）。

你的解答与正确结果对比 #

你给出的三个根：
$$
\begin{align*}
\omega_0 & = 2^{1/6}[\cos(\pi/12)+i\sin(\pi/12)]\
\omega_1 & = 2^{1/6}[\cos(7\pi/12)+i\sin(7\pi/12)]\
\omega_2 & = 2^{1/6}[\cos(13\pi/12)+i\sin(13\pi/12)]
\end{align*}
$$
其中只有$\omega_0$是正确的，另外两个根的错误在于辐角计算：

• 对于$\omega_1$（k=1），正确辐角应该是 $\frac{\pi/4 + 2\pi}{3} = \frac{\pi/4 + 8\pi/4}{3} = \frac{9\pi/4}{3} = \frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12}$，而不是$\frac{7\pi}{12}$
• 对于$\omega_2$（k=2），正确辐角应该是 $\frac{\pi/4 + 4\pi}{3} = \frac{\pi/4 + 16\pi/4}{3} = \frac{17\pi/4}{3} = \frac{17\pi}{12}$，而不是$\frac{13\pi}{12}$

正确的三个立方根应该是：
$$
\begin{align*}
\omega_0 & = 2^{1/6}\left[\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right]\
\omega_1 & = 2^{1/6}\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]\
\omega_2 & = 2^{1/6}\left[\cos\left(\frac{17\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{17\pi}{12}\right)\right]
\end{align*}
$$

复平面绘图要点 #

这三个根在复平面上的位置需要满足：

• 都落在半径为 $2^{1/6}$ 的圆上（因为模长都是原复数模长的1/3次方）
• 任意两个根之间的夹角为 $\frac{2\pi}{3}$（120度）：从$\omega_0$（第一象限，约15度位置）逆时针转120度到$\omega_1$（第二象限，135度位置），再转120度到$\omega_2$（第三象限，255度位置）。如果你的绘图符合这个规律，那就是正确的，否则需要调整位置。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Amy Jones