分拆为2、5、7不同部分的生成函数求解及欧拉定理应用咨询

首先帮你理清欧拉那个生成函数公式的核心逻辑：$\sum_{k=0}^\infty p(k)x^k = \prod_{k=1}^\infty \frac{1}{1-x^k}$ 里的$p(k)$，是把整数$k$分拆成任意正整数之和的方法数（允许重复使用任何正整数）。每个因子$\frac{1}{1-x^k}$展开后是$1 + x^k + x^{2k} + x^{3k} + \dots$，对应“$k$这个数在分拆里用0次、1次、2次……”的所有可能。

回到你的问题，我们只需要把这个无穷乘积**限制在你关心的部分（2、5、7）**上就行，分两种常见场景解释：

情况1：允许重复使用2、5、7（普通分拆） #

如果你的分拆允许同一个数（比如2）重复出现（比如把9拆成2+2+5，或者2+7），那对应的生成函数就是只保留2、5、7对应的因子：
$$\boxed{\frac{1}{(1-x^2)(1-x5)(1-x^7)}}$$
展开这个乘积后，$x^{k$的系数就是把$k$分拆成若干个2、5、7之和的方法数。比如$x}7$的系数是2（7本身，或者2+5），$x^9$的系数是2（2+2+5，2+7）。

情况2：不允许重复使用（分拆的部分都是不同的2、5、7） #

如果问题里的“不同部分”是指每个数只能用一次（比如不能拆成2+2+5，只能拆成2+5、2+7、5+7或者单独的2/5/7），那生成函数就要换成每个数只能选0次或1次的形式——把$\frac{1}{1-x^{m}$换成$(1+x}m)$，因为$(1+x^m)$刚好对应“$m$用0次或1次”：
$$\boxed{(1+x^2)(1+x5)(1+x^7)}$$
展开后$x^{k$的系数就是把$k$分拆成互不相同的2、5、7之和的方法数。比如$x}7$的系数还是2（7，2+5），但$x^9$的系数就只有1（2+7），因为2+2+5重复用了2，不符合“不同部分”的要求。

从欧拉公式到目标生成函数的推导思路 #

欧拉的公式是覆盖所有正整数的乘积，我们现在只允许2、5、7出现在分拆里，相当于其他正整数只能用0次——对应的因子就是$1$（因为$\frac{1}{1-x^{k}$里只取$x}{0k}$这一项）。所以本质上就是从无穷乘积中筛选出你需要的那几个因子，直接得到针对特定部分的生成函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DMan