约化环中的极小理想：如何证明其互不同构？

先把要用到的定义和已知结论明确下来，方便后续推导：

• 约化环：交换环$R$中不存在非零幂零元，即对任意$r\in R$，若$r^n=0$（$n$为正整数），则必有$r=0$。
• 极小理想：$R$的非零理想$I$，不存在任何非零理想$J$满足$J\subsetneq I$。
• 已知结论1：极小理想的零化子是$R$的极大理想。
• 已知结论2：两个极小理想作为$R$-模同构，当且仅当它们的零化子完全相同。

要证明“约化交换环中的极小理想互不同构”，根据已知结论2，我们只需要证明：约化交换环中任意两个不同的极小理想，它们的零化子一定不相同。

接下来用反证法推导：

假设$I$和$J$是约化交换环$R$中两个不同的极小理想，且它们的零化子相同，记为$\text{Ann}(I)=\text{Ann}(J)=M$（根据结论1，$M$是$R$的极大理想）。

1. 因为$I$是极小理想，任取非零元$a\in I$，由极小性可知$I=(a)$（交换环中，循环理想$(a)$是包含$a$的最小理想，而$I$极小，故$I=(a)$）。同理，$J=(b)$，其中$b$是$J$中的非零元。
2. 由于$I\neq J$，$I$和$J$互不包含（否则若$I\subseteq J$，结合极小性会推出$I=J$，矛盾），因此$I\cap J=0$（$I\cap J$是$I$的子理想，要么是$0$要么是$I$，若为$I$则$I\subseteq J$，矛盾；同理也不可能是$J$）。
3. 因为$I$和$J$都是$R$的理想，所以$IJ\subseteq I\cap J=0$，即$ab=0$（$IJ=(ab)$，因为$I=(a),J=(b)$）。
4. 分析$ab=0$这个条件：
   • 一方面，$ab=0$意味着$a\in\text{Ann}(J)=M$；
   • 另一方面，$\text{Ann}(I)=M$，即对任意$r\in R$，$ra=0$当且仅当$r\in M$。但$a$是非零元，$R$是约化环，所以$a^2\neq0$，即$a\cdot I=a\cdot(a)=a^2\neq0$，这说明$a\notin\text{Ann}(I)=M$，和前面的结论矛盾。

这个矛盾说明我们一开始的假设（$\text{Ann}(I)=\text{Ann}(J)$）不成立，因此任意两个不同的极小理想的零化子必然不同。再结合已知结论2，它们作为$R$-模一定互不同构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A.Rajanda