线性代数：齐次方程组解空间维数n−r的证明提示请求

嘿，刚接触线性代数的话这个结论可是核心知识点之一，先给你几个关键提示帮你自己推导，要是还是卡壳再看完整的证明思路～

• 先回忆矩阵的秩的定义：矩阵A的秩r是它的行（或列）向量组的极大线性无关组的个数，同时也是A经过行初等变换后非零行的数量。
• 齐次方程组$Ax=0$的解空间（也叫A的零空间），是所有满足方程的向量$x$构成的线性子空间，我们要找的是这个子空间的基向量个数（也就是维数）。
• 试试把矩阵A做行最简形变换，得到矩阵R，那么$Ax=0$和$Rx=0$是同解方程组。观察R的结构：有r个非零行，每个非零行的首非零元（主元）在不同的列，剩下的$n−r$列对应的就是自由变量。
• 给每个自由变量单独赋值为1，其他自由变量赋值为0，就能得到对应的解向量。思考下：这些向量是不是线性无关的？能不能生成整个解空间？

1. 对矩阵A做行初等变换，化为行最简形矩阵R。根据行初等变换的性质，$Ax=0$与$Rx=0$是同解方程组，且$\text{rank}(A)=\text{rank}(R)=r$。
2. 行最简形R有r个非零行，不妨设这r个非零行的主元分别在第$j_1,j_2,...,j_r$列，剩下的$n−r$列（记为第$k_1,k_2,...,k_{n−r}$列）对应的就是自由变量。
3. 对每个自由变量$x_{k_i}$，令$x_{k_i}=1$，其余自由变量为0，然后解出主元对应的变量的值，得到一个解向量$\xi_i$。
4. 证明这$n−r$个向量$\xi_1,\xi_2,...,\xi_{n−r}$线性无关：假设存在一组数$c_1,c_2,...,c_{n−r}$使得$c_1\xi_1+...+c_{n−r}\xi_{n−r}=0$，观察自由变量的位置，每个$\xi_i$在$k_i$位置是1，其他自由变量位置是0，因此必然有$c_i=0$对所有i成立，故这组向量线性无关。
5. 证明任意解向量都能由这组向量线性表示：设$\xi$是$Ax=0$的任意解，它的自由变量取值为$d_1,d_2,...,d_{n−r}$，那么$\xi=d_1\xi_1+d_2\xi_2+...+d_{n−r}\xi_{n−r}$，代入$Rx=0$验证可知等式成立，也就是满足$Ax=0$。
6. 综上，这$n−r$个向量是解空间的一组基，因此解空间的维数为$n−r$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者manifold