鲁丁《实分析与复分析》习题3.5(d)：为何序列{fₙ}收敛于0？

嘿，这个点当初我学的时候也卡过一会儿，咱们从逐点分析入手就很清晰了：

首先，题目里给出存在$r>0$使得$|f|_r < \infty$，这意味着$\int |f|^r d\mu < \infty$，所以在**几乎所有的$x \in X$**上，$|f(x)| > 0$——毕竟如果有正测度的点满足$|f(x)|=0$，并不会影响积分有限性，但这些点测度为0，不影响序列的收敛性讨论，我们只需要关注$|f(x)|>0$的点。

对每个$|f(x)|=t>0$的点，问题可以转化为单变量极限：证明当$p \to 0$时，
$$\frac{t^p - 1}{p} - \log t \to 0$$

这里有两种直观的方法验证这个极限：

方法1：泰勒展开法 #

利用指数函数的泰勒展开性质：当$u \to 0$时，$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2)$。
令$u = p \log t$，当$p \to 0$时，$u$也趋于0，于是：
$$t^p = e^{p \log t} = 1 + p \log t + \frac{(p \log t)^2}{2} + o(p^2)$$
将其代入原式：
$$\frac{t^p - 1}{p} = \log t + \frac{p (\log t)^2}{2} + o(p)$$
减去$\log t$后得到：
$$\frac{t^p - 1}{p} - \log t = \frac{p (\log t)^2}{2} + o(p)$$
当$p \to 0$时，右边显然趋于0。

方法2：洛必达法则 #

把$p$看作连续变量，考虑极限：
$$\lim_{p \to 0} \frac{t^p - 1 - p \log t}{p}$$
分子分母在$p=0$处都为0，满足洛必达法则的适用条件。对分子分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dp}(t^p -1 -p \log t) = t^p \log t - \log t = \log t \cdot (t^p - 1)$
• 分母导数：$\frac{d}{dp}(p) = 1$

于是极限变为：
$$\lim_{p \to 0} \log t \cdot (t^p - 1) = \log t \cdot (t^0 - 1) = \log t \cdot (1-1) = 0$$

结合题目中的${p_n} \to 0$，对几乎所有的$x$，$f_n(x)$都趋于0，所以序列${f_n}$几乎处处收敛到0。如果需要更强的收敛性（比如$L^1$收敛），还可以结合控制收敛定理，但题目只问收敛到0，逐点几乎处处收敛就足够啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nekodesu