$\mathbb{R}^2$中非平凡锥的示例问询及锥的定义说明

好的，咱们来逐个盘点$\mathbb{R}^{2$里除了整个平面$\mathbb{R}}2$之外的非平凡锥，所有例子都严格符合你给出的定义：集合$X \subset \mathbb{R}^2$，对任意$x \in X$、$\lambda \in \mathbb{R}^{>0}$，都有$\lambda x \in X$。

• 半空间锥：
  最直观的就是像右半平面这样的区域，比如开半空间${(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0}$，或者包含边界的闭半空间${(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0}$。更一般地，任意一条过原点的直线都会把$\mathbb{R}^2$分成两个半空间，不管是开的还是闭的，都是锥——因为对区域里的任意点，正倍数缩放后依然在同一个半空间里。比如由线性不等式定义的${(x,y) \mid ax + by \geq 0}$（其中$a,b$不同时为0），就是典型的闭半空间锥。

• 射线型锥：
  从原点出发的单条射线也是锥，比如开射线${(t, 0) \mid t > 0}$（正x轴方向），或者包含原点的闭射线${(t, 0) \mid t \geq 0}$。本质上，只要是所有正倍数的某个非零向量构成的集合，都是这类锥。

• 角锥（扇形锥）：
  像第一象限这样的扇形区域就是典型例子，比如开第一象限${(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0, y > 0}$，或者闭第一象限${(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0, y \geq 0}$。更一般的，任意两个过原点的射线之间的区域（不管是否包含边界）都是角锥——比如角度在$\theta_1$到$\theta_2$之间的所有点构成的集合${(x,y) \mid \theta_1 \leq \arg(x,y) \leq \theta_2}$（闭版本），正倍数缩放后点的角度不变，所以依然在这个扇形里。

• 直线子空间锥：
  任意过原点的直线都是锥，比如x轴${(t, 0) \mid t \in \mathbb{R}}$，或者由向量$(a,b)$张成的直线${(ta, tb) \mid t \in \mathbb{R}}$（$a,b$不同时为0）。虽然这类集合包含负倍数的点，但正倍数缩放后的点肯定还在直线上，完全符合锥的定义，属于线性子空间类型的锥。

• 零锥（单点锥）：
  只包含原点的集合${0}$也是锥——因为对原点乘以任何正实数$\lambda$，结果还是原点，满足定义。这是另一种“平凡”但非$\mathbb{R}^2$的锥。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ninja