求证函数$f :\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, f(x)=15x−11$非满射及满射判定方法咨询

别慌！我一步步给你拆解，先把满射的核心概念掰明白，再搞定这个函数的证明，最后梳理判断满射的通用思路~

先明确：什么是满射？ #

对于函数f : A → B（A是定义域，B是陪域），满射的核心要求是：陪域B里的每一个元素，都能在定义域A中找到至少一个元素对应过去。换句话说，只要B里存在哪怕一个元素，在A中找不到任何原像（也就是没有a∈A使得f(a)=b），那这个函数就不是满射。

证明f(x)=15x-11不是$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$的满射 #

我们只需要找到一个整数y，让方程15x -11 = y在整数范围内无解就行，这就是找反例的思路：

1. 把方程变形：15x = y + 11，也就是x = (y+11)/15
2. 因为x必须是整数，所以y+11必须是15的整数倍，也就是y+11 ≡ 0 mod 15（换句话说，y除以15的余数得是4，因为-11+15=4）
3. 那我们随便找一个不满足这个条件的整数，比如y=0：

   假设存在整数x使得15x -11 = 0，那么15x=11，x=11/15，这显然不是整数，矛盾。
   再比如y=1，15x=12，x=4/5，也不是整数。

4. 既然存在这样的y（比如0、1、2…很多），找不到对应的整数x，那这个函数就不是满射。

满射的通用判定步骤 #

• 第一步：先明确函数的定义域A和陪域B（比如本题都是整数集$\mathbb{Z}$）
• 第二步：任取B中的一个元素b，尝试解方程f(a)=b，看是否能在A中找到至少一个解a
• 第三步：如果对B里的所有b都能找到解，那就是满射；如果存在至少一个b找不到解，那就不是满射

什么时候函数是满射？什么时候不是？举几个例子 #

满射的情况 #

• 比如f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}，f(x)=x+3：任取整数y，解方程x+3=y得x=y-3，这是整数，所以每个y都有对应的x，是满射。
• 再比如f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}，f(x)=2x+5：任取实数y，x=(y-5)/2也是实数，所有实数y都能找到对应的x，是满射。

非满射的情况 #

• 像本题的线性函数，当系数是绝对值大于1的整数时：比如f(x)=kx+c（k、c是整数，|k|>1），因为kx=y-c要求y-c是k的倍数，必然存在y不满足这个条件，所以不是满射。
• 再比如f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}，f(x)=x²：因为实数的平方都是非负的，负数（比如-1）在陪域里找不到对应的x，所以不是满射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者liana