证明：存在幺环同态的两个除环特征相等

架构老林

2026-5-19

证明除环的特征在幺环同态下保持一致

设$K$与$K'$为两个除环，若存在幺环同态$f:K\to K'$，证明$\text{char}(K)=\text{char}(K')$。

我来帮你把这个证明补全并整理清楚～

先回顾一下除环特征的定义：一个幺环的特征是满足$n\cdot 1=0$的最小正整数$n$；如果不存在这样的正整数，特征就是$0$。

你的思路梳理与补全

你已经迈出了关键的第一步：
设$\char(K)=m$，$\char(K')=n$。
因为$f$是幺环同态，所以$f(1_K)=1_{K'}$，进而有$f(m\cdot 1_K)=m\cdot f(1_K)=m\cdot 1_{K'}$。
而$\char(K)=m$意味着$m\cdot 1_K=0_K$，所以$f(0_K)=0_{K'}=m\cdot 1_{K'}$。根据特征的定义，$n$是满足$n\cdot 1_{K'}=0_{K'}$的最小正整数，因此必然有$n\leq m$（如果$m$是正整数的话；如果$m=0$，那说明不存在正整数$k$使得$k\cdot 1_K=0_K$，那$m\cdot 1_{K'}=0_{K'}$就不可能对任何正整数$m$成立，所以$n$也只能是$0$）。

接下来你想到要证明$f$是单射，这个方向完全正确，我来补完这部分：
假设$x\in \ker(f)$且$x\neq 0_K$，因为$K$是除环，$x$存在逆元$x'\in K$，使得$xx'=x'x=1_K$。
那么$f(xx')=f(x)f(x')=0_{K'}\cdot f(x')=0_{K'}$，但另一方面$f(xx')=f(1_K)=1_{K'}$，这就产生了矛盾——除环作为幺环，它的零元和幺元一定不相等。所以$\ker(f)={0_K}$，即$f$是单射。

现在利用$f$的单射性来证明$m\leq n$：
如果$\char(K')=n$，那么$n\cdot 1_{K'}=0_{K'}$。而根据幺环同态的性质，$n\cdot 1_{K'}=f(n\cdot 1_K)$（因为$f(k\cdot 1_K)=k\cdot f(1_K)=k\cdot 1_{K'}$对任意整数$k$成立）。
由于$f$是单射，$f(n\cdot 1_K)=0_{K'}$意味着$n\cdot 1_K=0_K$。根据$\char(K)=m$的定义，$m$是满足$m\cdot 1_K=0_K$的最小正整数，所以$m\leq n$（如果$n$是正整数；如果$n=0$，那不存在正整数$k$使得$k\cdot 1_{K'}=0_{K'}$，所以$k\cdot 1_K=f^{-1}(k\cdot 1_{K'})\neq 0_K$，即$m=0$）。