能否简化幺半群中的元素？幺半群中由aᵐ=aᵐ⁺ⁿ能否推出i=aⁿ？

1. 能否简化幺半群中的元素？ #

当然可以，但具体的简化方式和程度，得看幺半群的具体结构：

• 通过同余关系构造商幺半群：这是最常用的“简化”思路。如果在幺半群$M$上定义一个同余关系$\sim$（满足：若$a\sim b$且$c\sim d$，则$ac\sim bd$，同时单位元的等价类保持单位元性质），那么商集合$M/\sim$在诱导运算下会形成一个新的幺半群，每个等价类就是原幺半群中一组元素的“简化代表”。比如整数加法幺半群，定义同余关系$a\sim b$当且仅当$a\equiv b \mod n$，得到的模$n$加法幺半群就是原幺半群的简化版本，每个等价类用$0$到$n-1$的整数代表。
• 利用元素的周期/幂等性简化表达式：如果幺半群中的元素$a$满足周期性质（比如存在$m<n$使得$a^m=an$），那我们可以把$a$的高次幂简化成更低次的形式。比如若$a^3=a5$，那么$a^{k$（$k\geq3$）可以简化为$a}{k\mod2}$。对于幂等元$a$（$a^2=a$），任何$a$的正整数次幂都等于$a$，这也是一种直观的简化。
• 注意：并非所有幺半群都能无限制简化：比如自由幺半群（比如由有限个字母组成的所有字符串，运算为字符串拼接，单位元是空串），如果不引入额外等价关系，它本身就是“最简”状态——每个元素都是唯一的字符串，没法再合并或简化。而平凡幺半群（只有单位元一个元素）则已经是最小结构，无法再简化。

2. 已知幺半群$M$中$a^m = a^{{m+n}$，能否断言$a}n$是单位元？ #

不能，我们可以通过具体反例来证明：

• 例1：零乘法幺半群：考虑由${0, 1}$组成的乘法幺半群，其中$1$是单位元，$0$和任何元素相乘都得$0$。取$a=0$，$m=1$，$n=1$，那么$a^1=0$，$a{1+1}=0^{2=0$，满足$a}m=a^{{m+n}$，但$a}n=0\neq1$（单位元）。
• 例2：幂零矩阵幺半群：考虑$2\times2$实数矩阵组成的乘法幺半群（单位元是单位矩阵$I$）。取矩阵$A = \begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}$，计算可得$A^{2=0$（零矩阵），$A}3=0$，所以$A^1=A2$（$m=1$，$n=1$），但$A^1=A\neq I$，显然不是单位元。

核心原因在于：幺半群中元素不一定有逆元——如果$a$有逆元，我们可以在等式$a^m = a^{{m+n}$两边同时左乘$a}{-m}$，得到单位元$i = a^{n$。但题目明确说明无法保证所有元素都有逆元，这个推导不成立，自然不能断言$a}n$是单位元。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Makogan