卷积恒为零是否意味着f=0？L²(ℝⁿ)卷积问题求证

问题1：卷积恒等于0是否意味着f=0？ #

答案是否定的，咱们可以轻松构造出反例来证明这一点。

熟悉傅里叶变换的话应该知道，卷积的傅里叶变换等于两个函数傅里叶变换的乘积——也就是$\mathcal{F}(f*g)=\hat{f}\cdot\hat{g}$。基于这个性质，我们可以找两个非零的$L^2$函数，让它们的傅里叶变换支撑完全不相交：

• 比如在一维空间中，令$\hat{f}$是区间$[1,2]$的特征函数（也就是$\hat{f}(ξ)=1$当$ξ\in[1,2]$，否则为0），$\hat{g}$是区间$[-1,0]$的特征函数。
• 显然$\hat{f}$和$\hat{g}$的支撑没有交集，所以它们的乘积$\hat{f}\cdot\hat{g}=0$对所有$ξ$成立。
• 根据Plancherel定理，对应的$f$和$g$都是$L^2$函数，而且$f$肯定不是零函数（毕竟$\hat{f}$非零），但它们的卷积$f*g$却恒等于0。

简单来说，只要两个函数的“频率支撑”完全不重叠，它们的卷积就会恒为0，但函数本身可以是非零的。

问题2：设$f, g ∈ L²(ℝⁿ)$，若$g>0$几乎处处且对所有$z ∈ ℝⁿ$，卷积$(f * g)(z)=0$，是否能推出$f$几乎处处为0？ #

这个问题的答案是肯定的，咱们可以一步步推导：

1. 首先还是用傅里叶变换的性质：既然$f*g=0$对所有$z$，那么它的傅里叶变换$\hat{f}\cdot\hat{g}=0$几乎处处（Plancherel定理保证了这一点，因为$L^{2$函数的傅里叶变换是$L}2$，卷积的傅里叶变换就是乘积）。
2. 假设$f$不是几乎处处为0，那根据Plancherel定理，$\hat{f}$也不是几乎处处为0——也就是说存在一个正测度的集合$E$，在$E$上$\hat{f}(ξ)≠0$。结合$\hat{f}\cdot\hat{g}=0$，就意味着$\hat{g}(ξ)=0$对所有$ξ\in E$。
3. 现在关键来了：$g>0$几乎处处这个条件不允许$\hat{g}$在正测度集上为0。因为$g$是$\hat{g}$的傅里叶逆变换，如果$\hat{g}$在正测度集$E$上为0，那$g$就相当于只在$\mathbb{R}^n\setminus E$上积分得到的函数。但这种“傅里叶支撑受限”的函数，不可能在几乎处处都大于0——简单来说，如果$g>0$几乎处处，它的傅里叶变换不可能在任何正测度区域上全为0，否则就会和$g$的正性矛盾。
4. 所以刚才的假设不成立，$f$必须几乎处处为0。

换个更直观的角度理解：$f*g(z)=0$意味着$f$和$g$的所有平移$g(·-z)$都正交。如果$g>0$几乎处处，它的平移在$L^2$空间里是“稠密”的——也就是说任何非零函数都不可能和所有平移正交，所以$f$只能是零函数（几乎处处）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Staki42