构造含两个不同聚点的无界序列的正确性验证及优化问询

你的构造是不正确的，问题出在序列有界这一点上——题目要求构造的是无界且有两个不同聚点的序列，而$(-1)^n$的所有项都落在$[-1,1]$区间内，明显是有界的，不符合要求。

先明确一下聚点（adherent point，也叫极限点）的严格定义：对于序列${x_n}$，若存在某个子序列${x_{n_k}}$趋向于$a$（$a$可以是有限实数，也可以是$\pm\infty$），则$a$是该序列的一个聚点。你对聚点“频繁趋近的点”的理解大体没错，但需要结合无界的要求来调整构造思路。

正确示例1：含一个有限聚点和一个无穷聚点的序列 #

构造序列：
$$x_n = \begin{cases}
-1 + \frac{1}{n}, & \text{当}n\text{为奇数时} \
n, & \text{当}n\text{为偶数时}
\end{cases}$$
对应的序列项为：$0,\ 2,\ -0.666...,\ 4,\ -0.8,\ 6,\ ...$

• 聚点与对应子序列：
  • 聚点$-1$：取奇数项子序列${x_{2k-1}} = \left{-1+\frac{1}{2k-1}\right}$，当$k\to\infty$时该子序列趋向$-1$；
  • 聚点$+\infty$：取偶数项子序列${x_{2k}} = {2k}$，当$k\to\infty$时该子序列趋向$+\infty$；
• 无界性：偶数项不断增大至无穷，整个序列显然无界。

正确示例2：含两个无穷聚点的序列 #

构造序列：
$$x_n = (-1)^n \cdot n$$
对应的序列项为：$-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6,\ ...$

• 聚点与对应子序列：
  • 聚点$-\infty$：取奇数项子序列${x_{2k-1}} = {-(2k-1)}$，趋向$-\infty$；
  • 聚点$+\infty$：取偶数项子序列${x_{2k}} = {2k}$，趋向$+\infty$；
• 无界性：序列绝对值持续增大至无穷，满足无界要求。

补充：若要求聚点均为有限实数 #

如果题目隐含要求聚点是有限值，可以构造如下序列：
$$x_n = \begin{cases}
1 + \frac{1}{n}, & \text{当}n\text{为奇数时} \
-1 + \frac{1}{n}, & \text{当}n\text{为偶数且非4的倍数时} \
n, & \text{当}n\text{为4的倍数时}
\end{cases}$$
这个序列的聚点为$1$（奇数子序列趋向1）、$-1$（非4倍数的偶数子序列趋向-1），同时因4倍数项趋向无穷，保证了序列无界。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者O'Niel