已知命中概率1/3的两类射击概率问题求解咨询

嘿，这两个问题都是二项分布的经典应用，咱们一步步来拆解：

问题a：射击5次至少命中2次的概率 #

直接算“至少命中2次”的话，得把命中2次、3次、4次、5次的概率全加起来，有点麻烦。咱们换个思路，先算它的对立事件——命中0次或1次的概率，再用1减去这个值，会轻松很多。

二项分布的核心概率公式是：
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中：

• n是总试验次数（这里是5次射击）
• p是单次命中的概率（1/3）
• C(n,k)是组合数，代表从n次试验里选k次成功的情况数

具体计算步骤： #

1. 计算命中0次的概率：
   P(X=0) = C(5,0) * (1/3)^0 * (2/3)^5 = 1 * 1 * 32/243 = 32/243

2. 计算命中1次的概率：
   P(X=1) = C(5,1) * (1/3)^1 * (2/3)^4 = 5 * (1/3) * 16/81 = 80/243

3. 至少命中2次的概率 = 1 - （命中0次+命中1次的概率）
   1 - (32/243 + 80/243) = 1 - 112/243 = 131/243 ≈ 0.539

问题b：至少命中1次概率超过90%所需的射击次数 #

还是用对立事件简化计算：“至少命中1次”的反面是全未命中，所以只要满足 1 - P(X=0) > 0.9 就行，也就是 P(X=0) < 0.1。

具体计算步骤： #

1. 全未命中的概率是 (2/3)^n（n是射击次数），因此得到不等式：
   (2/3)^n < 0.1

2. 两边取自然对数（注意因为2/3<1，取对数后不等号方向要反转）：
   n * ln(2/3) < ln(0.1)
n > ln(0.1) / ln(2/3)

3. 代入数值计算：
   ln(0.1) ≈ -2.3026，ln(2/3) ≈ -0.4055
n > (-2.3026)/(-0.4055) ≈ 5.68

因为射击次数必须是整数，所以取最小的整数6。验证一下：(2/3)^6 = 64/729 ≈ 0.0878，1 - 0.0878 ≈ 0.9122 > 90%，完全符合要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rain ss99