两个抛物面的交线问题：直观认知与联立推导的差异解析

嘿，这个问题我刚梳理清楚，咱们一步步拆解来搞明白：

首先先明确两个抛物面的基本情况：

• 第一个抛物面：$x^2 + y^2 = z+5$，开口向上，顶点在$(0,0,-5)$，和x-y平面（z=0）的交线是圆$x^2+y2=5$，这部分你已经清楚了。
• 第二个抛物面：$(x-1)^2+(y-1)2=z+5$，是第一个沿x-y平面平移得到的，顶点在$(1,1,-5)$，开口方向和第一个完全一致（都是沿z轴正方向）。

你联立方程时的推导逻辑没问题，但误解了结果的含义 #

你把第二个方程展开得到：
$$x^2 + y^2 -2x - 2y + 2 = z+5$$
然后代入第一个方程的$z+5=x^2+y2$，化简后得到$x+y=1$——这个结果本身是对的，但它不是交线本身，而是交线所在的平面！

为什么交线是抛物线？ #

两个曲面的交线，是同时满足两个曲面方程的点的集合。当你消去z得到$x+y=1$时，只是找到了所有满足两个抛物面方程的点都在这个平面上，但交线是这个平面与其中任意一个抛物面的交集。

咱们把$y=1-x$代入第一个抛物面方程看看：
$$x^2 + (1-x)^2 = z+5$$
展开并整理：
$$x^2 + 1 - 2x + x^2 = z+5$$
$$2x^2 - 2x + 1 = z+5$$
$$z=2x^2 - 2x - 4$$

这个式子就是交线在平面$x+y=1$上的表达式，它是一个标准的抛物线形式。你可以这么理解：平面$x+y=1$不平行于抛物面的对称轴（z轴），所以它和抛物面的交线必然是抛物线——这也和你直观看到的图示结果一致。

总结一下你的疑惑点 #

你之前的推导只得到了交线所在的平面，而没有进一步求出平面与抛物面的交集，所以才会觉得结果和直观认知有差异。实际上，联立两个曲面方程的第一步消元，得到的是交线的“约束平面”，真正的交线是这个平面与曲面的共同解，也就是我们最后推导出的抛物线。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rohit Pandey