幺半群中的单位元是否唯一？对教授要求寻找"Units"的困惑

嘿，你这里其实是搞混了两个极易混淆的代数概念——单位元（identity element）和单位（unit），教授说的复数形式"Units"指的是后者，完全不是你一直在证明的单位元哦！

先确认你的推导完全正确 #

你一直在证明的是幺半群中的单位元：也就是满足对任意元素$x$，都有$xi = ix = x$的元素$i$。你的推导逻辑毫无问题——假设存在两个不同的单位元$i_1 \neq i_2$，根据单位元的定义，$i_1 = i_1i_2 = i_2$，直接导出矛盾，所以幺半群的单位元确实是唯一的，这一点没毛病。

教授说的"Units"到底是什么？ #

在代数结构里（包括幺半群、环、群），Unit（复数形式为Units）指的是拥有逆元的元素：对于幺半群里的元素$u$，如果存在另一个元素$v$，使得$uv = vu = e$（这里$e$是幺半群的单位元），那么$u$就是一个Unit。

举两个直观的例子：

• 在整数乘法幺半群里，单位元是1，而Units是1和-1——因为只有这两个整数能找到逆元（它们的逆元都是自身），满足$1×1=1$，$(-1)×(-1)=1$。
• 在$n$阶实矩阵的乘法幺半群里，单位元是单位矩阵$I$，而所有可逆矩阵都是Units——只要矩阵行列式不为0，就能找到它的逆矩阵，满足$AA^{-1}=A{-1}A=I$，这样的矩阵显然有无数个。

总结 #

教授说的"寻找幺半群中的Units"，是让你找这些有逆元的元素，而不是找唯一的单位元。所以用复数形式"Units"完全没问题，是你之前把两个概念搞混啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Makogan