如何计算指定分式平方和？附二项分布背景

嘿，针对你遇到的这个求和问题，我整理了几个实用的解题方向，先把问题明确下来：

给定 $p\in(0,1)$，$n$ 为有限正整数，需要计算如下求和式：
$$
\sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(\frac{k}{n} - p\right)^2}
$$
你提到换元、展开分母的常规方法都没奏效，而且这个求和需求源于计算二项分布 $Z\sim\text{Bin}(n,p)$ 时的期望 $\mathbb{E}\left|\frac{Z}{n}-p\right|$，其中 $U:=\left|\frac{Z}{n}-p\right|$ 是非负随机变量。

• 复分析留数定理路径：这个求和的结构是离散点的平方倒数和，完全可以用复分析里的留数技巧来处理。先把求和式改写为 $n^2\sum_{k=1}n \frac{1}{(k - np)^2}$，然后构造复函数 $f(z) = \frac{\pi \cot(\pi z)}{(z - np)^2}$——余切函数在整数点 $z=k$ 处有一阶极点，留数为1，对 $f(z)$ 在包含 $1,2,...,n$ 的闭合围道上积分，就能把求和转化为围道积分的计算，再结合留数定理算出结果。
• 回到原期望的拆分计算：既然这个求和是从期望推导来的，不如换个思路直接处理 $\mathbb{E}\left|\frac{Z}{n}-p\right|$。把期望拆成两部分：
  $$
  \mathbb{E}\left|\frac{Z}{n}-p\right| = \frac{1}{n}\left( \sum_{k=0}^{\lfloor np \rfloor} (np - k)\binom{n}{k}p^k(1-p){n-k} + \sum_{k=\lceil np \rceil}^n (k - np)\binom{n}{k}p^k(1-p){n-k} \right)
  $$
  然后利用二项式系数的递推公式（比如 $\binom{n}{k} = \binom{n}{k-1}\frac{n-k+1}{k}$）或者生成函数（比如对 $(px + (1-p))^n$ 求导后调整）来计算这两个求和，可能比硬算平方倒数和更高效。
• 关联三角函数的展开式：利用余切函数的Laurent展开式：
  $$
  \pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} + 2z\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{z^2 - m^2}
  $$
  对两边关于 $z$ 求导，就能得到平方倒数和的表达式，再把你的求和范围代入，通过调整无穷级数的范围来得到有限求和的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nemo