来自Devore《现代数理统计》的正态样本中位数估计及标准误问询

我来一步步帮你搞定这两个问题，都是基于Devore《现代数理统计》里的正态分布假设来推导的：

问题解答 #

b. 中位数的点估计及所用估计量 #

我们用样本中位数作为总体中位数的点估计量——在正态分布下，总体中位数和均值相等，但样本中位数依然是总体中位数的无偏且稳健的估计量。

先确认给定的16个观测值已经按从小到大排序：
0.83, 0.88, 0.88, 1.04, 1.09, 1.12, 1.29, 1.31, 1.48, 1.49, 1.59, 1.62, 1.65, 1.71, 1.76, 1.83

因为样本量$n=16$是偶数，样本中位数的计算规则是取排序后第$\frac{n}{2}$个和第$\frac{n}{2}+1$个观测值的平均值：

• 第8个观测值是1.31，第9个观测值是1.48
• 代入计算得点估计值：$\frac{1.31 + 1.48}{2} = 1.395$

e. 样本中位数的估计标准误 #

对于正态分布的总体，样本中位数的渐近估计标准误可以用以下公式计算：
$$
\text{SE}(\tilde{X}) \approx \frac{s}{1.253\sqrt{n}}
$$
其中：

• $\tilde{X}$代表样本中位数，$s$是样本标准差
• 系数1.253来自$\sqrt{\pi/2}\approx1.253$，由正态分布的概率密度函数性质推导而来

接下来一步步计算：

• 先算样本均值：$\bar{X} = \frac{0.83+0.88+0.88+1.04+1.09+1.12+1.29+1.31+1.48+1.49+1.59+1.62+1.65+1.71+1.76+1.83}{16} \approx 1.3481$
• 计算所有观测值与均值的平方和：$\sum_{i=1}^{16}(X_i - \bar{X})^2 \approx 2.128$
• 样本标准差：$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar{X})^2} = \sqrt{\frac{2.128}{15}} \approx 0.376$

最后代入标准误公式：
$$
\text{SE}(\tilde{X}) \approx \frac{0.376}{1.253\times\sqrt{16}} = \frac{0.376}{1.253\times4} \approx 0.075
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Caerus