求证或找反例：若方阵满足A⁴=I，是否必有A²=±I？

嘿，咱们直接说结论：满足(A^4 = I)的方阵，不一定有(A^2 = \pm I)。我给你举几个不同域上的例子，再讲讲背后的逻辑。

复数域上的极简反例 #

拿个2阶对角矩阵就搞定了：

A = [
    [i,  0],
    [0,  1]
]

咱们动手算一下：

• (A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix})，明显既不是单位矩阵(I)，也不是(-I)
• (A^4 = \begin{bmatrix} i^4 & 0 \ 0 & 1^4 \end{bmatrix} = I)，完全满足题目里的(A^4 = I)条件

实数域上的反例（如果要求矩阵元素都是实数） #

要是你需要实数矩阵，用分块对角矩阵就能构造：

A = [
    [0, 1, 0, 0],
    [-1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 1]
]

左上角的2阶子块是旋转90度的矩阵，它的4次方是单位矩阵，平方是负单位矩阵；右下角是2阶单位矩阵。验证一下：

• (A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix})，这个矩阵既不是(I)也不是(-I)
• (A^4 = I)，肯定没问题，因为每个分块的4次方都是单位矩阵，拼起来还是单位矩阵

为啥会这样？从特征值角度理解 #

(A^4 = I)意味着(A)的所有特征值都是四次单位根，也就是满足(\lambda^4 = 1)的数，这些根包括(1, -1, i, -i)。如果(A)同时包含不同类型的根（比如既有1又有i），那(A^{2)的特征值就会是1和-1，这时候(A}2)的特征值不全是1，也不全是-1，自然不可能等于(I)或者(-I)啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Martin