豪斯多夫空间上商空间相关定理的证明验证

定理：设$X$为豪斯多夫空间，$K \subset X$为紧子空间，则有以下结论：

1. $X/K$是豪斯多夫空间；
2. 若$A$是$X$中含于$K$的开集，则自然映射$(X-A)/(K-A) \to X/K$是同胚；
3. 若$X$是紧空间，则$X/K$与$X-K$的单点紧化同胚。

证明过程 #

1. 证明$X/K$是豪斯多夫空间

设$\pi : X \to X/K$为商映射，考虑$X/K$中任意两个不同的元素$[x], [y]$，分两种情况讨论：

• 情况1：$[x], [y] \neq \pi(K)$
  此时$x,y \notin K$且$x \neq y$。因为$X$是豪斯多夫空间，存在不相交的开邻域$U \ni x$、$V \ni y$。又因为$K$是紧集，$X$豪斯多夫，我们可以进一步缩小$U$和$V$，使得它们都与$K$不相交（否则利用紧集与单点的分离性，取与$K$不交的邻域）。此时$\pi(U)$和$\pi(V)$是$X/K$中分别包含$[x]$、$[y]$的开邻域，且$\pi(U) \cap \pi(V) = \emptyset$，满足分离性。

• 情况2：其中一个元素是$\pi(K)$
  不妨设$[y] = \pi(K)$，$[x] \neq \pi(K)$（即$x \notin K$）。由于$X$是豪斯多夫空间，紧集$K$与单点$x$可被不相交开集分离：存在开集$U \ni x$，$V \supset K$，且$U \cap V = \emptyset$。此时$\pi(U)$是$[x]$的开邻域，$\pi(V)$是$\pi(K)$的开邻域，且两者不相交——因为$U$和$V$本身不交，且商映射下开集的像保持开性（$V$包含$K$，故$\pi(V)$是开集；$U$与$K$不交，$\pi(U)$也是开集）。

综上，$X/K$中任意不同点都有不相交开邻域，因此$X/K$是豪斯多夫空间。

2. 证明自然映射$(X-A)/(K-A) \to X/K$是同胚

记$\pi_1: X-A \to (X-A)/(K-A)$、$\pi: X \to X/K$为各自的商映射，定义映射$f: (X-A)/(K-A) \to X/K$为$f([x]) = \pi(x)$，我们从四个方面验证$f$是同胚：

• 良定义：若$[x]_1 = [y]_1$，要么$x=y$，要么$x,y \in K-A$，此时$\pi(x)=\pi(y)=\pi(K)$，因此$f$的取值唯一，良定义成立。
• 连续性：注意到$\pi|{X-A} = f \circ \pi_1$，$\pi|{X-A}$是连续映射，$\pi_1$是商映射，根据商映射的性质，$f$必然连续。
• 单射：若$f([x])=f([y])$，则$\pi(x)=\pi(y)$，即要么$x=y$，要么$x,y \in K$。但$x,y \in X-A$，所以$x,y \in K-A$，此时$[x]_1=[y]_1$，故$f$是单射。
• 满射：对任意$[z] \in X/K$，若$z \notin K$，则$z \in X-A$，$f([z]_1)=[z]$；若$z \in K$，取$k \in K-A$，则$f([k]_1)=\pi(K)=[z]$，故$f$是满射。
• 开映射：取$(X-A)/(K-A)$中的开集$W$，则$\pi_1^{{-1}(W)$是$X-A$中的开集，即存在$X$中的开集$U$使得$\pi_1}{-1}(W)=U \cap (X-A)$。因为$A$是含于$K$的开集，$K-A$是$K$的闭子集（紧空间的闭子集仍紧）：
  • 若$U \cap (X-A)$包含$K-A$，则$\pi(U \cap (X-A)) = \pi(U)$（因为$\pi(K-A)=\pi(K)$），而$U$是$X$的开集，故$\pi(U)$是$X/K$的开集；
  • 若$U \cap (X-A)$与$K-A$不交，则$\pi(U \cap (X-A))=\pi(U)$，同样是$X/K$的开集。
    因此$f(W)=\pi(\pi_1^{-1}(W))$是$X/K$中的开集，$f$是开映射。

综上，$f$是连续、双射且开的映射，故为同胚。

3. 证明$X/K$与$X-K$的单点紧化同胚

设$Y$是$X-K$的单点紧化，记添加的单点为$\infty$，则$Y=(X-K) \cup {\infty}$，其拓扑由两部分组成：$X-K$中的所有开集，以及形如$Y-C$的集合（其中$C$是$X-K$中的紧子集）。定义映射$g: X/K \to Y$：

• 若$[x] \neq \pi(K)$（即$x \notin K$），则$g([x])=x$；
• 若$[x] = \pi(K)$，则$g([x])=\infty$。

我们验证$g$是同胚：

• 良定义：同一等价类的元素要么都不在$K$中（映射到自身），要么都在$K$中（映射到$\infty$），取值唯一。
• 连续性：取$Y$中的开集，分两种情况：
  • 若开集是$X-K$中的开集$U$，则$g^{-1}(U)=\pi(U)$，是$X/K$中的开集；
  • 若开集是$Y-C$（$C$是$X-K$的紧子集），则$g^{-1}(Y-C)=\pi(X - C)$。因为$X$是紧空间，$C$是$X$的紧子集（$X-K$的紧子集也是$X$的紧子集），故$X-C$是$X$的开集，且$K \subset X-C$，因此$\pi(X-C)$是$X/K$中的开集。
• 单射：若$g([x])=g([y])$，要么$x,y \notin K$且$x=y$，要么$x,y \in K$（此时$[x]=[y]$），故$g$是单射。
• 满射：对任意$y \in Y$，若$y \in X-K$，则$g([y])=y$；若$y=\infty$，则$g(\pi(K))=\infty$，故$g$是满射。
• 开映射：取$X/K$中的开集$W$，则$\pi^{-1}(W)$是$X$中的开集：
  • 若$\pi(K) \notin W$，则$\pi^{-1}(W) \subset X-K$，$g(W)=\pi^{-1}(W)$是$Y$中的开集；
  • 若$\pi(K) \in W$，则$\pi^{-1}(W)$是包含$K$的开集，$X - \pi^{-1}(W)$是$X$的闭子集（也是紧子集，因为$X$紧），且$X - \pi^{-1}(W) \subset X-K$，因此$Y - (X - \pi^{-1}(W))=g(W)$是$Y$中的开集。

综上，$g$是同胚，即$X/K$与$X-K$的单点紧化同胚。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bremen000