求数列$a_n= \frac{3n}{5+3^{n+1}}$的极限，寻求夹逼准则应用指导

嗨，我来帮你捋捋这个问题～首先先说说你提到的下界$b_n= \frac{3n}{n(5+3^{{n+1})}$：这个式子化简后其实是$\frac{3}{5+3}{n+1}}$，作为下界是没问题的，因为显然$\frac{3n}{5+3^{n+1}} > \frac{3}{5+3^{{n+1}}$（毕竟n≥1时，3n>3），而且这个下界的极限也是0。不过其实有更简洁的选择——因为数列$a_n$的分子$3n$和分母$5+3}{n+1}$都是正数，所以直接取下界为0就足够了，不用绕弯子构造那个带n的式子。

接下来解决你头疼的上界问题，核心思路是利用指数函数增长远快于多项式函数的特性：

• 当n足够大时，分母里的5和$3^{{n+1}$比起来可以直接做放缩：$5+3}{n+1} > 3^{n+1}$，反过来就能得到$a_n = \frac{3n}{5+3^{n+1}} < \frac{3n}{3^{n+1}} = \frac{n}{3^n}$。
• 现在只需要确认$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{3^{n}=0$就行：你可以用洛必达法则（把n当作连续变量x，求$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{3}x}$，求导后得到$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{3^{x\ln3}$，显然趋近于0）；或者用比值法，看$\frac{\frac{n+1}{3}{n+1}}}{\frac{n}{3^n}} = \frac{n+1}{3n} \rightarrow \frac{1}{3} < 1$，所以数列$\frac{n}{3^n}$收敛到0。

最后用夹逼准则：

因为对于所有n≥1，都有$0 < a_n < \frac{n}{3^{n}$，而$\lim_{n\rightarrow\infty}0=0$，$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{3}n}=0$，所以$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$。

总结一下：你想的下界是可行的，但没必要这么复杂；上界通过指数函数和多项式的增长差异来构造就很容易解决啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zu_m