表达式x²-(x-1)是否恒为质数？为何平方数减前数得质数？

嘿，这个问题乍一看好像有点道理，但实际上结论并不成立——表达式x² - (x - 1)并不是对任意x都能得到质数。咱们来仔细掰扯清楚：

先把原式展开合并同类项，这样更容易分析：
x² - (x - 1) = x² - x + 1

要证明一个“对任意数都成立”的结论不成立，最简单的方法就是找反例：

• 当x=5时，代入计算得：5² - 5 + 1 = 21，而21=3×7，是个合数；
• 再试x=8：8² -8 +1 =57，57=3×19，也是合数；
• 甚至x=1的时候，结果是1² -1 +1=1，而1既不是质数也不是合数，这也不符合质数的定义。

可能你一开始试的都是小的x值，比如x=2得3，x=3得7，x=4得13，这些都是质数，但随着x增大，这个二次表达式的值会快速变大，出现合数的概率也会越来越高。比如当x是形如3k+2的整数时（k≥1），代入表达式会得到：
(3k+2)² - (3k+2) +1 = 9k² +9k +3 = 3(3k²+3k+1)
这个结果是3的倍数，而且当k≥1时，3k²+3k+1肯定大于1，所以整个结果就是大于3的3的倍数，必然是合数。

所以结论很明确：这个表达式的结果不总是质数，只是在部分x取值下会得到质数而已。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Amg