求助：求证函数有界点的集合为开集（含证明尝试）

先把基础定义明确下来：

给定函数$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，若存在正数$\epsilon$和$M$，使得对所有$x \in (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon)$都满足$\mid f(x)\mid < M$，则称$f$在点$x_0$处有界。我们的目标是证明：所有这样的有界点构成的集合$E$是$\mathbb{R}$中的开集。

接下来是完整的证明过程：

• 任取$x_0 \in E$，根据有界点的定义，必然存在正数$\epsilon_0$和$M_0$，使得对所有$x \in (x_0 - \epsilon_0, x_0 + \epsilon_0)$，都有$|f(x)| < M_0$。
• 现在我们要验证：这个开区间$(x_0 - \epsilon_0, x_0 + \epsilon_0)$里的每一个点都是$f$的有界点，也就是整个区间都包含在$E$中。
• 随便取一个$x_1 \in (x_0 - \epsilon_0, x_0 + \epsilon_0)$，因为这是开区间，所以一定能找到正数$\epsilon_1$，让$(x_1 - \epsilon_1, x_1 + \epsilon_1)$完全落在$(x_0 - \epsilon_0, x_0 + \epsilon_0)$里面。
• 对于这个$x_1$，我们直接用之前的$M_0$作为有界常数：对所有$x \in (x_1 - \epsilon_1, x_1 + \epsilon_1)$，显然$x$也在$(x_0 - \epsilon_0, x_0 + \epsilon_0)$里，所以必然满足$|f(x)| < M_0$。
• 按照有界点的定义，$x_1$属于$E$。
• 因为$x_0$是$E$中任意选取的点，且每个$x_0$都能找到一个完全包含在$E$中的开邻域，根据$\mathbb{R}$中开集的定义（集合内的每个点都有一个开邻域包含于该集合），就可以得出$E$是开集的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者James