非对称矩阵M为PD当且仅当其对称部分为PD？求证结论真伪

嘿，这个问题抓得很准！你提到的观点完全正确，咱们来一步步把逻辑理清楚：

首先回忆正定（PD）矩阵的定义：一个矩阵$M\in\mathbb{R}^{n\times n}$是PD的，当且仅当对任意非零向量$x\in\mathbb{R}^{n$，都有$x}TMx>0$。

接下来，我们把任意矩阵$M$拆解成对称部分和反对称部分的和：

• 对称部分：$S = \frac{1}{2}(M+M^{T)$（显然$S}T=S$）
• 反对称部分：$A = \frac{1}{2}(M-M^{T)$（显然$A}T=-A$）

那么$M = S + A$，我们来展开二次型：
$$x^TMx = x^T(S+A)x = x^TSx + x^TAx$$

关键就在$x^{TAx$这一项：因为$x}TAx$是一个标量，它的转置等于自身，即$(x^TAx)T = x^TATx$。而由于$A$是反对称矩阵，$A^T=-A$，所以：
$$x^TAx = (x^TAx)T = x^TATx = -x^TAx$$

把等式移项就能得到$2x^{TAx=0$，也就是**对任意$x\in\mathbb{R}}n$，$x^TAx=0$**——这正是你已经注意到的核心点！

这就意味着：
$$x^TMx = x^TSx$$

所以，$x^{TMx>0$对所有非零$x$成立，当且仅当$x}TSx>0$对所有非零$x$成立。换句话说：

$M$是PD矩阵 $\iff$ 其对称部分$S=\frac{1}{2}(M+M^T)$是PD矩阵

这个结论和$M$是否对称无关——哪怕$M$是非对称的，反对称部分的二次型也不会贡献任何符号，整个二次型的正负性完全由对称部分决定。

举个非对称的例子验证一下：
取$M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ -1 & 3 \end{pmatrix}$，它的对称部分$S = \begin{pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$，显然是PD矩阵。计算任意非零$x=(x_1,x_2)$的二次型：
$$x^TMx = 3x_1^2 + x_1x_2 - x_1x_2 + 3x_2^2 = 3x_1^2 + 3x_2^2 > 0$$
完全符合PD的定义。

反过来，如果对称部分不是PD，比如$M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$，对称部分$S = \begin{pmatrix} 1 & 1.5 \ 1.5 & 1 \end{pmatrix}$，它的行列式是$1 - 2.25 = -1.25 < 0$，不是PD。取$x=(1,-1)$，则$x^TMx = 1 -3 -0 +1 = -1 < 0$，说明$M$确实不是PD矩阵。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bobson Dugnutt