关于n元生成有限生成自由阿贝尔群秩≤n的论证有效性求证

先跟大家说一下我在书中看到的一个推论：

若$G$是由$n$个元素生成的有限生成阿贝尔群，则$G$的每个子群$H$都可由$m$个元素生成，且$m \le n$。

目前我正在研究这么一个问题：
若$F$是由$n$个元素生成的有限生成自由阿贝尔群，则$F$的秩$m \le n$。

现在我有个关于论证逻辑的疑问想请教：
下面这个推导是否成立？

由于$F$是自身的子群，且根据假设$F$可由$n$个元素生成，因此……

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user193319