咨询：将极限limₙ→∞∑ᵢ=1ⁿ1/(i+n)转为定积分的正确性

你的问题回顾 #

问题：将给定极限表示为定积分，无需计算极限。极限式为$$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i+n}$$。我的尝试：$$\int_{0}^{1}\frac{1}{x} dx$$。我认为积分上下限正确，但不确定被积函数是否正确，请问该尝试是否正确？

问题解答 #

嗨，你的积分上下限确实是对的，但被积函数搞错啦，我来一步步拆解：

首先回忆定积分的核心定义：对于区间$[a,b]$，将其分成$n$个等长小区间，每个区间长度$\Delta x = \frac{b-a}{n}$，取样本点$x_i^{*$，定积分就是$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}}n f(x_i^*)\Delta x$。

我们来改写你的极限式：
$$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i+n}$$
把分母里的$n$提取出来，就能凑出定积分定义里的$\Delta x$啦：
$$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n(1+\frac{i}{n})} = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{n}$$

现在对比定义：

• $\Delta x = \frac{1}{n}$，对应区间是$[0,1]$（当$n\to\infty$时，$\frac{i}{n}$从$\frac{1}{n}$趋近到1，覆盖了$[0,1]$区间）
• 样本点$x_i = \frac{i}{n}$，对应的被积函数就是$f(x) = \frac{1}{1+x}$

所以正确的定积分应该是：
$$\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x} dx$$

你之前写的$\frac{1}{x}$是错误的，因为原极限的分母是$i+n$，不是$i$，提取$n$后是$n(1+\frac{i}{n})$，所以被积函数是$\frac{1}{1+x}$而不是$\frac{1}{x}$哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Andres Romero