基于ε-δ极限定义求δ的问题：函数f(x)=2-1/x

嘿，我来帮你搞定这个卡住的ε-δ推导！你已经走到|x-1| < 0.1|x|这一步，其实核心就是把变量|x|转化为固定的常数，这样就能直接解出δ了，具体步骤如下：

步骤1：先给x设定一个范围，锁定|x|的下界 #

因为我们研究的是x趋近于1的情况，所以可以先让x离1足够近，比如先限定：

|x - 1| < 0.5

这个0.5是随便选的小正数（选0.1、0.4都可以，只要保证x不趋近于0就行），展开这个不等式：
-0.5 < x - 1 < 0.5 → 0.5 < x < 1.5

这时候就能确定|x|的最小值是0.5，也就是|x| > 0.5，反过来就是1/|x| < 2。

步骤2：把|x|的下界代入原不等式 #

回到你推导到的式子：
|x-1| / |x| < 0.1

因为我们已经知道1/|x| < 2，所以可以把左边放大：
|x-1| / |x| < 2|x-1|

现在我们要让这个放大后的式子小于0.1，也就是：
2|x-1| < 0.1 → |x-1| < 0.05

步骤3：确定最终的δ值 #

我们需要同时满足两个条件：

• 之前设定的|x-1| < 0.5（用来锁定|x|的下界）
• 刚得到的|x-1| < 0.05（用来满足原极限条件）

所以δ要取这两个数里的较小值，也就是：
δ = min(0.5, 0.05) = 0.05

验证一下 #

比如取x=1+0.05=1.05，计算$f(x)=2 - 1/1.05≈1.048$，$|f(x)-1|=0.048<0.1$；再取x=1-0.05=0.95，$f(x)=2 - 1/0.95≈0.948$，$|f(x)-1|=0.052<0.1$，都符合要求。如果δ取比0.05大的数（比如0.1），x=0.9时，$|f(x)-1|≈0.111>0.1$，就不满足了，所以0.05是合适的δ。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Scoofjeer