求使函数f(x)=C(100,x)*(2^x)取最大值的整数x，导数法失效该如何着手？

嘿，我完全懂你的困惑——组合数C(100,x)只在整数x上有定义，根本没法像连续函数那样求导！不过别慌，对于这种离散序列，我们可以用相邻项比值法来判断它的增减趋势，找到转折点就是最大值的位置了。

具体步骤 #

我们的目标函数是f(x) = C(100, x)·2^x，核心思路是通过比较f(x+1)和f(x)的大小，确定序列什么时候递增、什么时候递减：

1. 写出相邻项的比值表达式

f(x+1)/f(x) = [C(100, x+1)·2^(x+1)] / [C(100, x)·2^x]

2. 化简组合数部分
   回忆组合数的递推公式：C(n, k+1) = C(n, k)·(n - k)/(k+1)，代入后可得：

C(100, x+1)/C(100, x) = (100 - x)/(x + 1)

结合2的幂次化简，整个比值最终变为：

f(x+1)/f(x) = [(100 - x)/(x + 1)] · 2

3. 通过比值判断增减性

• 当f(x+1)/f(x) > 1时，f(x+1) > f(x)，序列处于递增阶段；
• 当f(x+1)/f(x) = 1时，f(x+1) = f(x)，两者相等；
• 当f(x+1)/f(x) < 1时，f(x+1) < f(x)，序列开始递减。

4. 解不等式找转折点
   令[(100 - x)/(x + 1)] · 2 > 1，解这个不等式：

2(100 - x) > x + 1
200 - 2x > x + 1
199 > 3x
x < 199/3 ≈ 66.333...

这意味着：

• 当x ≤ 66时，序列持续递增；
• 当x ≥ 67时，序列开始递减。

5. 验证边界值
   计算x=66和x=67的函数值关系：
   f(67) = f(66) × (68/67)，显然f(67) > f(66)；
   而f(68)/f(67) = (33/68)×2 = 66/68 < 1，即f(68) < f(67)。

结论 #

函数f(x)=C(100,x)·2^x在x=67时取得最大值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shivam Kumar