不同输入输出空间量子操作的算子和表示：Nielsen&Chuang习题8.3问询

大家好！最近在啃Nielsen与Chuang的《量子计算与量子信息》，目前卡在了习题8.3的最后一步。这道题涉及**不同输入输出空间量子操作的Operator-sum representation（算子和表示）**的定义推广，我觉得这个知识点对其他量子计算学习者也有不小的参考价值，所以来这儿请教大家。

我已经完成了这道题的大部分解答步骤，但在最后环节遇到了难以突破的问题，接下来我会详细说明具体的卡壳点。另外这是我第一次提问，如果我的表述有不清晰或者不合适的地方，麻烦大家随时指正，非常感谢各位的帮助！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Paulo Cavalcanti