技术咨询：求分拆为2、5或7的可重复分拆生成函数

嘿，我来帮你理清楚这个生成函数的问题～

首先，咱们先回忆一下可重复分拆的生成函数基本构造逻辑：对于一个允许重复使用的正整数k，它对应的生成函数是所有可能使用次数（0次、1次、2次……）的项的和，也就是：
1 + x^k + x^(2k) + x^(3k) + ...
这是一个无穷等比级数，收敛时可以简化为 1/(1 - x^k)。

回到你的问题，我们需要分别构造每个允许部分的生成函数，再把它们相乘（因为分拆中不同部分的选择是独立的，生成函数的乘法对应组合的叠加）：

• 对于可重复使用的部分2，生成函数是 1/(1 - x²)
• 对于可重复使用的部分5，生成函数是 1/(1 - x⁵)
• 对于可重复使用的部分7，生成函数是 1/(1 - x⁷)

把这三个生成函数相乘，就得到了分拆为2、5或7且部分可重复的生成函数：
G(x) = 1/[(1 - x²)(1 - x⁵)(1 - x⁷)]

如果你想验证的话，展开这个生成函数后，x^{n的系数就是把n拆成若干个2、5、7之和的方式数，比如x}9的系数是2（对应分拆方式：2+7 和 2+2+5），完全符合预期。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John