求助：证明局部微分同胚的原像为离散子集

别发愁，我们可以结合离散子集的定义和局部微分同胚的性质来一步步解决这个问题：

首先明确核心定义：

• 一个子集 $S \subset M$ 是离散子集，当且仅当对每个 $x \in S$，都存在 $x$ 的邻域 $U \subset M$，使得 $U \cap S = {x}$（简单说就是每个点都是孤立点，子集里没有聚点）。
• $f: M \to N$ 是局部微分同胚，意味着对任意 $x \in M$，都存在 $x$ 的邻域 $U_x$，使得 $f|_{U_x}: U_x \to f(U_x)$ 是微分同胚——而微分同胚是双射，自然满足单射的性质，这正好对应题目给的提示。

接下来推导结论：
对于任意 $q \in N$，取任意 $x \in f^{-1}(q)$（也就是满足 $f(x)=q$ 的点），根据局部微分同胚的定义，存在 $x$ 的邻域 $U_x$，使得 $f$ 在 $U_x$ 上是单射。

现在假设存在另一个点 $y \in U_x$ 且 $y \in f^{-1}(q)$，那么 $f(y)=q=f(x)$。但因为 $f$ 在 $U_x$ 上是单射，单射的定义是“若 $f(a)=f(b)$ 则 $a=b$”，所以必然有 $y=x$。这就说明：
$$U_x \cap f^{-1}(q) = {x}$$

最后验证离散性：
如果 $f^{-1}(q)$ 不是离散的，那么它会存在一个聚点 $x$——也就是 $x$ 的任意邻域都包含 $f^{-1}(q)$ 中除 $x$ 外的其他点。但我们刚才已经找到 $x$ 的邻域 $U_x$，它与 $f^{-1}(q)$ 的交集只有 $x$ 自己，这就产生了矛盾。因此 $f^{-1}(q)$ 中没有聚点，每个点都是孤立点，满足离散子集的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Keith