关于凸函数路径积分下确界与Jensen不等式的技术疑问

最近啃一本专著的时候碰到了这么个变分问题，记录下来梳理下：

我们要找的是满足起止点约束的连续可微路径$z(t)$（属于$C^1$空间）上，积分的下确界：
$$\inf_{z \in C^1} \int_0^1 c\left(\frac{dz(t)}{dt}\right) dt$$
约束条件为：
$$z(0) = x,\ z(1) = y$$

这里的$c$是凸函数，专著里直接给出这个下确界等于$c(y-x)$，还说这个结论靠Jensen不等式就能推出来。

我已经搞懂了其中的核心推导步骤：
$$\int_0^1 c\bigg(\frac{dz(t)}{dt}\bigg) dt \geq c\bigg(\int_0^1 \frac{dz(t)}{dt} dt\bigg)=c(z(1)-z(0))=c(y-x)$$

不过专著里还有关于$\inf_{z \in C^1} \int_0^1 c\left(\frac{dz(t)}{dt}\right) dt$的后续内容，原文没写完，暂时先记到这儿。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者yoshi