两个正态变量的期望求解：E[e^(aX-Y)]的推导是否正确？

首先要明确一个关键前提：这里的X和Y需要是联合正态分布（仅边缘分布满足正态性不足以保证线性组合的正态性，也没法直接用协方差完成方差计算），接下来我们一步步验证你的推导：

核心公式回顾 #

对于任意服从正态分布的随机变量 ( Z \sim N(\mu_Z, \sigma_Z^2) )，其指数期望的经典公式是：
$$ E[e^Z] = e^{\mu_Z + \frac{1}{2}\sigma_Z^2} $$

步骤1：计算线性组合变量的期望与方差 #

令 ( Z = aX - Y )，分别推导它的期望和方差：

• 期望部分：
  $$ E[Z] = E[aX - Y] = aE[X] - E[Y] $$
  这部分你的推导完全正确。

• 方差部分：
  方差的展开规则是 ( Var(A - B) = Var(A) + Var(B) - 2Cov(A,B) )（因为 ( Var(-B) = Var(B) )，负号不影响方差的大小），所以：
  $$ Var(Z) = Var(aX - Y) = a^2Var(X) + Var(Y) - 2aCov(X,Y) $$
  这里你的推导出现了错误：你把 ( Var(Y) ) 前的符号写成了负号，正确的应该是正号。

步骤2：代入公式得到正确结果 #

将 ( E[Z] ) 和修正后的 ( Var(Z) ) 代入核心公式，最终正确的结果是：
$$ E[e^{aX-Y}] = e^{aE[X] - E[Y] + \frac{1}{2}\left(a^2Var(X) + Var(Y) - 2aCov(X,Y)\right)} $$

结论 #

你的推导结果中，( Var(Y) ) 前的符号存在错误，将该位置的减号改为加号后，结果就正确了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者helen pet