求证或证伪n! ∈ O(n^{n-2})，请求极限计算指导

没问题，我们来一步步用斯特林近似搞定这个极限，证明你的命题是成立的～

首先，你第一步的变形完全正确：
$$\lim_{n\to \infty} \frac{n!}{n^{n-2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{n!n^2}{n{n}}$$

接下来我们用斯特林近似公式——这是处理阶乘极限的核心工具，它的渐近表达式为：
$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \quad (n \to \infty)$$
这里的$\sim$表示当$n$趋向无穷时，两边的比值趋近于1，完全可以用来替换阶乘做极限分析。

把这个近似代入到我们的极限表达式中：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{n!n^2}{n{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \cdot n^2}{nn}$$

现在逐步化简式子：

• 先处理$\left( \frac{n}{e} \right)^{n$和分母的$n}n$：$\left( \frac{n}{e} \right)^n / n^n = \frac{n^n}{en} / n^n = \frac{1}{e^n}$
• 剩下的多项式项合并：$\sqrt{2\pi n} \cdot n^2 = \sqrt{2\pi} \cdot n^{2 + \frac{1}{2}} = \sqrt{2\pi} \cdot n^{\frac{5}{2}}$

于是整个极限简化为：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2\pi} \cdot n^{{\frac{5}{2}}}{e}n}$$

最后分析这个极限：指数函数$e^{n$的增长速度远远快于任何多项式（哪怕是$n}{1000}$这种超高次多项式），当$n$趋向无穷时，分子是多项式、分母是指数函数，因此这个极限等于0。

根据大O符号的定义：如果$\lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{g(n)}$存在且为有限值，那么$f(n) \in O(g(n))$。这里极限是0（显然属于有限值），所以$n! \in O(n^{n-2})$——甚至可以更严格地说$n! \in o(n^{{n-2})$（小o符号，表示阶乘的增长速度严格慢于$n}{n-2}$）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者asddf