悬链简正模式推导过程解析求助

我最近在啃一份PDF里的悬链简正模式推导过程，先把核心的基础设定整理出来，方便自己捋清楚推导的前提：

• 研究对象：线密度为ρ、悬挂于固定点的链条
• 坐标系规则：x轴从链条平衡状态下的自由端竖直向上，u轴指向右侧
• 关键近似：假设水平位移很小，因此沿链条的实际距离可近似为沿x轴的距离

内容的提问来源于stack exchange，提问作者lauren96