定义映射是否始终为浸没？局部定义映射是否始终为浸没？求解原因

嘿，这个问题在微分几何基础概念里挺关键的，我来帮你理清楚～

答案是绝对不是。

首先得明确浸没的核心要求：一个光滑映射 $f: M \to N$ 是浸没，当且仅当它在每一点 $p \in M$ 处的切映射 $df_p: T_pM \to T_{f(p)}N$ 都是满射。全局定义只是说映射的定义域是整个流形 $M$，但完全不保证切映射满射的条件。

举个最直观的反例：

• 取常数映射 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，把整个平面都映射到点 $(0,0)$。这个映射是全局光滑的，但它在任意点的切映射都是零映射，显然没法满射到二维的切空间 $T_{(0,0)}\mathbb{R}^2$，所以肯定不是浸没。
• 再比如一维到二维的嵌入映射 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$，定义为 $f(x)=(x,0)$。它是全局光滑的，但切映射 $df_x$ 把 $\mathbb{R}$ 中的向量 $v$ 映射成 $(v,0)$，值域只是 $\mathbb{R}^2$ 的一个一维子空间，不是满射，因此也不是浸没。

核心逻辑就是：全局定义只保证映射覆盖整个流形，但不保证它的切映射在每一点都能“铺满”目标流形的切空间，所以全局映射绝非都是浸没。

答案同样是否。

局部定义的映射指的是定义域是流形 $M$ 的某个开子集 $U$ 的光滑映射，但这和“局部浸没”是完全不同的概念——局部浸没是说存在点的邻域使得映射是浸没，而局部定义的映射只是定义域局部，但本身可能在整个定义域上都不满足浸没的条件。

还是用简单的反例说明：

• 在 $\mathbb{R}^2$ 的开单位圆盘 $U$ 上定义常数映射 $f(x,y)=(0,0)$，这个映射是局部定义的光滑映射，但切映射全是零映射，显然不是浸没。
• 再比如在 $U$ 上定义 $f(x,y)=(x,0)$，它的切映射 $df_{(x,y)}$ 把二维切向量 $(a,b)$ 映射成 $(a,0)$，值域只是一维子空间，同样不是满射，所以也不是浸没。

只有当局部定义的映射在定义域内每一点的切映射都是满射时，它才是浸没——但显然存在大量局部映射不满足这个条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者hereitis