单点集在任意拓扑空间中是否总是紧致的？本人判断存疑求解答

你的判断完全正确！单点集在任意拓扑空间里确实都是紧致集，咱们从紧致性的核心定义出发就能轻松验证：

拓扑空间中的一个集合称为紧致集，当且仅当它的任意开覆盖都存在有限子覆盖。

针对单点集 ${x}$ 来分析：

• 任取 ${x}$ 的一个开覆盖 $\mathcal{U}$，根据开覆盖的定义，$\mathcal{U}$ 里至少存在一个开集 $U$ 满足 $x \in U$（毕竟要覆盖住单点 $x$）。
• 这个单独的开集 $U$ 就构成了 $\mathcal{U}$ 的一个有限子覆盖——它只包含一个元素，显然是有限的，而且完全覆盖了 ${x}$。

哪怕是极端拓扑情况也成立：

• 比如平凡拓扑（只有空集和全空间两个开集），${x}$ 的开覆盖只能是包含全空间的那个开集，本身就是有限的；
• 再比如离散拓扑（每个单点集都是开集），${x}$ 自己就是开集，它单独就能成为自身的开覆盖，当然也是有限子覆盖。

所以不管拓扑空间的结构如何，单点集的紧致性都能通过定义严格证明，你的初始判断没问题~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Keith