请求检查：两个子空间的和是子空间的证明是否正确

嘿，各位大佬！我刚梳理了一段关于两个子空间的和是子空间的证明，想请大家帮忙看看有没有逻辑漏洞或者表述不当的地方，麻烦啦！

我的证明步骤如下：

• 第一步：证明$0 \in W_1 + W_2$
  由于$W_1, W_2$是子空间，根据子空间的定义可知$0 \in W_1$且$0 \in W_2$。取$w_1=0$（属于$W_1$），$w_2=0$（属于$W_2$），那么$w_1 + w_2 = 0 + 0 = 0$，显然这个结果属于$W_1 + W_2$。

• 第二步：证明$cu + v \in W_1 + W_2$（其中$c \in \mathbb{F}$，$u, v \in W_1 + W_2$）
  令$W = W_1 + W_2$，因为$u \in W$，所以存在$u_1 \in W_1, u_2 \in W_2$，使得$u = u_1 + u_2$，那么$cu = c(u_1 + u_2) = cu_1 + cu_2$。
  同理，由于$v \in W$，存在$v_1 \in W_1, v_2 \in W_2$，使得$v = v_1 + v_2$……（后续推导还没写完，先请大家检查已完成的部分是否正确）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jmoore00