所有非阿贝尔群均非单群吗？由对称群性质引发的求证问询

你提到的$S_n$（$n\geq3$）确实是非阿贝尔且非单群，但这只是一类特殊的非阿贝尔群，完全不能代表所有非阿贝尔群的性质。

要推翻这个结论，只需要找到一个非阿贝尔且是单群的例子就行，最经典的就是交错群$A_5$：

• $A_5$是5个元素的偶置换构成的群，它是非阿贝尔群（比如置换$(1\ 2\ 3)$和$(1\ 2\ 4)$的乘积顺序不同，结果不一样）；
• 它是单群——也就是说，$A_5$没有非平凡的正规子群（既不是平凡子群${e}$，也不是它本身）。

实际上，更一般地，当$n\geq5$时，交错群$A_n$都是非阿贝尔单群。除此之外，有限单群分类里还包含大量其他类型的非阿贝尔单群，比如李型单群、散在单群（比如著名的Monster群）等。

所以，“所有非阿贝尔群均非单群”这个结论是不成立的，$S_n$的情况只是个例，不能推广到所有非阿贝尔群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者newhere