抽象代数教材习题存疑：同余方程无解结论是否有误？

你完全没错，这道抽象代数习题的结论确实是错误的，你的反例也非常精准地戳中了问题所在。

先回顾一下同余方程ax ≡ b (mod n)的正确有解条件：

• 该方程有解的充要条件是gcd(a,n)能整除b，也就是当d = gcd(a,n)时，必须满足d | b。

我们来拆解你的例子：

• a=24，n=10，计算得d = gcd(24,10)=2
• b=6，显然2 | 6，满足有解的充要条件
• 代入x=4验证：24*4=96，96 mod 10=6，完全符合方程要求，确实是有效解。

再看习题里的错误表述：它认为gcd(b,d)≠1时方程无解，这完全违背了数论中的正确结论。实际上：

• 只要d | b，不管gcd(b,d)是否等于1，方程都有解。比如再举一个例子：a=6，n=4，d=2，b=2，gcd(2,2)=2≠1，方程6x≡2(mod4)化简为2x≡2(mod4)，解为x=1和x=3，显然存在解。
• 甚至当gcd(b,d)=1时，只是b/d和1互质的情况，方程依然有解（只是解的结构会更简单），绝对不是无解的情况。

总结来说，你对同余方程的理解是完全正确的，这道习题的结论存在明显错误，你的反例已经完美证明了这一点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TAPLON