求幂级数f(z)=z-z²+z³…的最大解析延拓定义域

API 探路者

2026-5-19

解析延拓的最大定义域求解

嘿，咱们一步步来拆解这个问题：

第一步：先求出级数在收敛域内的和函数
你给出的级数是 f(z) = z - z² + z³ - z⁴ + …，这是个首项为z、公比为-z的等比级数。当|z| < 1时，公比的模|-z| = |z| < 1，级数收敛。根据等比级数求和公式：
```
f(z) = \frac{z}{1 + z}
```
这个等式在|z| < 1的开圆盘内成立。
第二步：分析和函数的解析性
分式函数\frac{z}{1 + z}是个有理函数，在复平面上，只有当分母为0的点（也就是z = -1）处是奇点（一阶极点），在其他所有复数点上都是解析的。
第三步：确定最大解析延拓定义域
根据解析延拓的唯一性定理，原级数的解析延拓就是这个有理函数\frac{z}{1 + z}，它能定义的最大区域就是整个复平面去掉点z = -1，也就是ℂ \ {-1}。这个区域是最大的，因为z = -1是不可去奇点，我们无法将函数解析地延拓到这个点上。