子群H增广理想结论g-e∈J_H当且仅当g∈H的证明解释问询

假设H是群G的子群，J_H是H的增广理想。有这么一个核心结论：

对任意g∈G，g-e ∈ J_H当且仅当g∈H

这个结论在Daniel E. Cohen所著的《Groups of Cohomological Dimension One》中的引理4.1已经被证明，但我实在搞不懂该证明的(i)部分逻辑，有没有大佬能给我拆解一下这部分的推导过程，或者推荐一些相关的参考资料帮我理解呀？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JSchoone